静電エネルギーと力

Ｗ＝∫ＶdＱ＝ＣＶ²/２＝Ｑ²/２Ｃ＝ＱＶ/２

と表される。 以下に幾つかの例を述べる。

比誘電率の異なる誘電体を重ねて両側に電極をつけた構造を考える。 極板の面積をＳ極板の間隔をｄ、誘電体は、誘電率ε₁、厚さｄ₁、誘電率ε₂、厚さｄ₂（ｄ＝ｄ₁＋ｄ₂）であるとする。 コンデンサの項目を参考にすると、静電容量Ｃは、
１/Ｃ＝（ｄ₁/ε₁＋ｄ₂/ε₂）/Ｓ
である。

電荷量をＱで一定に保ったときの静電エネルギーＷと力を求める。
Ｗ＝Ｑ²/２Ｃ＝Ｑ²/２Ｓ*（ｄ₁/ε₁＋ｄ₂/ε₂）
　＝Ｑ²/２Ｓ*（ｄ₁/ε₁＋（ｄ−ｄ₁）/ε₂）

力ＦはＦ＝−∂Ｗ/∂ｄ₁であるから、
Ｆ＝Ｑ²/２Ｓ*（１/ε₂−１/ε₁）
となる。単位面積当りの力ｆ（＝Ｆ/Ｓ）は、
ｆ＝１／２（Ｑ/Ｓ）²（１/ε₂−１/ε₁）
電荷量が一定であるから、静電エネルギーの減少は、電圧の低下による。電圧の低下は、誘電率の増加によって起るので、誘電率の小さい ε₁の媒質が、縮もうとする。

ここで、誘電率ε₁の媒質内の電界Ｅ₁は、電束密度Ｄが、
Ｄ＝Ｑ/Ｓであるから、Ｄ＝ε₁Ｅ₁＝ε₂Ｅ₂を考慮して、 力ｆを書き換えると（今の場合は、Ｄ₁＝Ｄ₂＝Ｄであるが）
ｆ＝−Ｄ₁²/２ε₁＋Ｄ₂²/２ε₂
　＝−Ｅ₁Ｄ₁/２＋Ｅ₂Ｄ₂/２

電圧をＶで一定に保ったときの静電エネルギーＷと力を求める。
Ｗ＝ＣＶ²/２＝ＳＶ²/２（ｄ₁/ε₁＋ｄ₂/ε₂）
　＝ＳＶ²/２（ｄ₁/ε₁＋（ｄ−ｄ₁）/ε₂）
間隔をｄ₁→ｄ₁＋�凾�₁へ変化させたときのコンデンサのエネルギーの変化は、

　∂Ｗ/∂ｄ₁・�凾�₁

となる。このとき同時に、電荷量が�凾p〔Ｃ〕増加する。この電荷は、電圧Ｖ〔Ｖ〕の電源より供給されているので、電源で�凾pＶ〔Ｊ〕のエネルギーの減少が起こる。 全体として、増加したエネルギー�凾v_netは、�凾v_net＝∂Ｗ/∂ｄ₁・�凾�₁−�凾pＶ

力ＦはＦ＝−∂Ｗ_net/∂ｄ₁であるから、
Ｆ＝−ＳＶ²/２（ｄ₁/ε₁＋（ｄ−ｄ₁）/ε₂）²*（１/ε₁−１/ε₂）
となる。単位面積当りの力ｆ（＝Ｆ/Ｓ）は、
ｆ＝−Ｖ²/２（ｄ₁/ε₁＋ｄ₂/ε₂）²*（１/ε₁−１/ε₂）
電圧が一定であるから、静電エネルギーの減少は、電荷の減少による。電荷の減少は、誘電率の低下によって起るので、誘電率の小さい ε₂の媒質が、脹らもうとする。

ここで、誘電率ε₁の媒質内の電界Ｅ₁は、電束密度Ｄが、
Ｄ＝Ｑ/Ｓ＝ＣＶ/Ｓ＝Ｖ/（ｄ₁/ε₁＋ｄ₂/ε₂）
であるから
Ｅ₁＝Ｄ/ε₁＝Ｖ/（ｄ₁/ε₁＋ｄ₂/ε₂）ε₁
同様に、誘電率ε₂内の電界Ｅ₂は、
Ｅ₂＝Ｄ/ε₂＝Ｖ/（ｄ₁/ε₁＋ｄ₂/ε₂）ε₂
これらを使って、力ｆを書き換えると（今の場合は、Ｄ₁＝Ｄ₂＝Ｄであるが）
ｆ＝ε₂Ｅ₂²/２−ε₁Ｅ₁²/２
　＝Ｅ₂Ｄ₂/２−Ｅ₁Ｄ₁/２

ε_r1、ε_r2の媒質の両端の電極は電位が等しい。よって、電界Ｅは両媒質内で等しい。 ε_r1の媒質内の電束密度Ｄ₁は、ε₀ε_r1Ｅとなる。 同様にε_r2の媒質内の電束密度Ｄ₂は、ε₀ε_r2Ｅとなる。
電束密度は、電極の面電荷密度に等しいので、ε_r1の媒質の両端の電荷量Ｑ₁は、ε₀ε_r1ＥＬ₁Ｔとなる。 同様に、ε_r2の媒質の両端の電荷量Ｑ₂は、ε₀ε_r2ＥＬ₂Ｔとなる。
全電荷量は、Ｑ（ｃ）であるから、Ｑ＝Ｑ₁＋Ｑ₂
Ｑ＝ε₀ε_r1ＥＬ₁Ｔ＋ε₀ε_r2ＥＬ₂Ｔ
　＝ε₀Ｔ（ε_r1Ｌ₁＋ε_r2Ｌ₂）Ｅ
電圧ＶはＥｄより、
Ｖ＝Ｑｄ/ε₀Ｔ（ε_r1Ｌ₁＋ε_r2Ｌ₂）
全エネルギーＷは、Ｗ＝ＱＶ/２で与えられる。
Ｗ＝Ｑ²ｄ/２ε₀Ｔ（ε_r1Ｌ₁＋ε_r2Ｌ₂）
　＝Ｑ²ｄ/２ε₀Ｔ（ε_r1Ｌ₁＋ε_r2（Ｌ−Ｌ₁））
Ｆ＝−∂Ｗ/∂Ｌ₁＝Ｑ²ｄ/２ε₀Ｔ（ε_r1Ｌ₁＋ε_r2Ｌ₂）²*（ε_r1−ε_r2）
力の大きさは、Ｑ²ｄ/２ε₀Ｔ（ε_r1Ｌ₁＋ε_r2Ｌ₂）²*（ε_r1−ε_r2）である。
ε_r1＞ε_r2の時、Ｌ₁が長くなる方向へ働く。
単位面積当りの力ｆ（＝Ｆ/ｄＴ）を求めると
ｆ＝Ｑ²ｄ/２ε₀Ｔ²ｄ（ε_r1Ｌ₁＋ε_r2Ｌ₂）²*（ε_r1−ε_r2）
　＝ε₀（ε_r1−ε_r2）Ｅ²/２（Ｅは媒質内の電界）
　＝Ｄ₁Ｅ/２−Ｄ₂Ｅ/２（Ｅ（＝Ｅ₁＝Ｅ₂）は媒質内の電界、Ｄはそれぞれの媒質の電束密度）
　＝Ｄ₁Ｅ₁/２−Ｄ₂Ｅ₂/２
電圧一定の時と比較して、力の大きさは同じで、向きが逆向きであることが分かる。
＃電荷量が一定であるから、エネルギーが減少するのは、電位が小さくなる時である。 誘電率が大きくなるほど電位は小さくなるので、誘電率の大きい領域が大きくなろうとする力が働く。

�Aコンデンサに一定の電圧Ｖ（Ｖ）を印加した時、静電エネルギーと誘電体の境界に発生する力を求める。

ε_r1、ε_r2の媒質の両端の電極は電位が等しい。よって、電界はＶ/ｄで両媒質内で等しい。 ε_r1の媒質内の電束密度Ｄ₁は、ε₀ε_r1Ｖ/ｄとなる。 電束密度は、電極の面電荷密度に等しいので、ε_r1の媒質の両端の電荷量Ｑ₁は、ε₀ε_r1Ｖ/ｄ*Ｌ₁Ｔとなる。
ε_r2の媒質内の電束密度Ｄ₂は、ε₀ε_r2Ｖ/ｄとなる。 電束密度は、電極の面電荷密度に等しいので、ε_r2の媒質の両端の電荷量Ｑ₂は、ε₀ε_r2Ｖ/ｄ*Ｌ₂Ｔとなる。
コンデンサでの全エネルギーＷは、Ｗ＝Ｑ₁Ｖ/２＋Ｑ₂Ｖ/２で与えられる。
Ｗ＝ε₀ε_r1Ｖ²/２ｄ*Ｌ₁Ｔ＋ε₀ε_r2Ｖ²/２ｄ*Ｌ₂Ｔ
　＝ε₀Ｖ²/２ｄ*Ｔ（ε_r1Ｌ₁＋ε_r2Ｌ₂）
　＝ε₀Ｖ²/２ｄ*Ｔ（ε_r1Ｌ₁＋ε_r2（Ｌ−Ｌ₁））

となる。このとき同時に、電荷量が�凾p〔Ｃ〕増加する。この電荷は、電圧Ｖ〔Ｖ〕の電源より供給されているので、電源で�凾pＶ〔Ｊ〕のエネルギーの減少が起こる。 全体として、増加したエネルギー�凾v_netは、�凾v_net＝∂Ｗ/∂Ｌ₁・�凾k₁−�凾pＶ

力ＦはＦ＝−∂Ｗ_net/∂Ｌ₁であるから、
Ｆ＝−∂Ｗ_net/∂Ｌ₁＝ε₀Ｖ²/２ｄ*Ｔ（ε_r1Ｌ₁＋ε_r2（Ｌ−Ｌ₁））
　＝ε₀Ｖ²/２ｄ*Ｔ（ε_r1−ε_r2）
力の大きさは、ε₀Ｖ²/２ｄ*Ｔ（ε_r1−ε_r2）である。
ε_r1＞ε_r2の時、Ｌ₁が長くなる方向へ働く。

　境界面の面積は、ｄＴであるから、単位面積当りの力ｆ（＝Ｆ/ｄＴ）は
ｆ＝ε₀Ｖ²/２ｄ²*（ε_r1−ε_r2）
　＝ε₀（ε_r1−ε_r2）Ｅ²/２（Ｅは媒質内の電界）
　＝Ｄ₁Ｅ/２−Ｄ₂Ｅ/２（Ｅ（＝Ｅ₁＝Ｅ₂）は媒質内の電界、Ｄはそれぞれの媒質の電束密度）
　＝Ｄ₁Ｅ₁/２−Ｄ₂Ｅ₂/２

これでこの項目は終わり

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