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電気磁気学Ｉ （１９９６年度 後期 追試験、再試験） 答の解説コーナー
I 無限の広がりを持つ平面導体から距離ｈの場所にｑ（ｃ）の点電荷がある。（この問題は既に扱っている。）
ａ 平面導体表面の電界を座標を適当に設定して求めよ。
答
ｑ（ｃ）の点電荷から平面導体表面に下ろした垂線の足に対して、対称な位置に－ｑ（ｃ）の点電荷（影像電荷）を考えればよい。
導体表面の任意の点における電界は、導体表面に対して垂直であるので、（平面導体表面において）垂線の足からの距離をｒとすれば、
電界Ｅは導体平面から遠ざかる方を正にして、
Ｅ＝ｑ／4πε0（ｒ2＋ｈ2）*（－ｈ）／（ｒ2＋ｈ2）1/2
＋（－ｑ）／4πε0（ｒ2＋ｈ2）*ｈ／（ｒ2＋ｈ2）1/2
＝－ｑｈ／２πε0（ｒ2＋ｈ2）3/2
ｂ ａにおいて導体表面に誘起される電荷を求めよ。
答
導体表面の電荷蜜度σは、電束蜜度と等しいので、
σ＝ε0Ｅ＝－ｑｈ／２π（ｒ2＋ｈ2）3/2
ｃ 点電荷に働く力を求めよ。
答
影像電荷がｑ（ｃ）の点電荷に及ぼす電界Ｅは、（－ｑ）／4πε0（２ｈ）2 であるから力Ｆは導体平面から遠ざかる方を正にして、
Ｆ＝ｑＥ＝－ｑ2／１６πε0ｈ2
大きさ ｑ2／１６πε0ｈ2 で、平面導体に対して引力が働く。
II 空間に体積密度ρ（ｒ）で電荷が分布する時、任意の点Ｒにおける電界Ｅ（Ｒ）及び電位φ（Ｒ）を
求める手続きについて説明せよ。（この問題は既に扱っている。）
答
連続的に分布している電荷を電荷蜜度が一定で点電荷とみなせるほどに小さな領域に分割する。電界や電位は分割されたすべての微小領域からの
寄与の和で表される。この分割した微小領域の体積をΔＶとすれば、それぞれの微小領域の電荷は電荷量ρ（ｒ）ΔＶの点電荷とみなせるので
Ｅ（Ｒ）＝Σρ（ｒ）ΔＶ／４πε0｜Ｒ－ｒ｜2
*（Ｒ－ｒ）／｜Ｒ－ｒ｜（ｒについて和をとる）
φ（Ｒ）＝Σρ（ｒ）ΔＶ／４πε0｜Ｒ－ｒ｜（ｒについて和をとる）
ΔＶを限りなく小さくすると和は積分に代わって、
Ｅ（Ｒ）＝∫ρ（ｒ）／４πε0｜Ｒ－ｒ｜2
*（Ｒ－ｒ）／｜Ｒ－ｒ｜dＶ（ｒに関して全空間（ρ（ｒ）≠０の場所）で積分する）
φ（Ｒ）＝∫ρ（ｒ）／４πε0｜Ｒ－ｒ｜dＶ（ｒに関して全空間（ρ（ｒ）≠０の場所）で積分する）
III （Ａ，０，０）、（０，Ａ，０）、（０，０，Ａ）の位置にＱ（ｃ）の点電荷がある。以下の問いに答えよ。
ａ （２／３*Ａ，２／３*Ａ，２／３*Ａ）における電界と電位を求めよ。
答
（Ａ，０，０）の電荷による電界は、Ｑ／4πε0（（２／３*Ａ－Ａ）2＋（２／３*Ａ）2＋（２／３*Ａ）2）3/2*（－Ａ／３，２／３*Ａ，２／３*Ａ）
他の点電荷による電界も同様に表してたせば、
Ｅ＝Ｑ／4πε0（Ａ2／９＋２*４／９*Ａ2）3/2*（－Ａ／３＋２*２／３*Ａ，－Ａ／３＋２*２／３*Ａ，－Ａ／３＋２*２／３*Ａ）
＝Ｑ／4πε0Ａ3*（Ａ，Ａ，Ａ）
＝Ｑ／4πε0Ａ2*（１，１，１）（Ｖ／ｍ）
＝Ｑ／4πε0Ａ2*√3（１，１，１）／√3（Ｖ／ｍ）
原点より、（１，１，１）に向かう方向で、大きさは√3Ｑ／4πε0Ａ2（Ｖ／ｍ）
成分なら、（Ｑ／4πε0Ａ2，Ｑ／4πε0Ａ2，Ｑ／4πε0Ａ2）（Ｖ／ｍ）
（Ａ，０，０）の電荷による電位は、Ｑ／4πε0（（２／３*Ａ－Ａ）2＋（２／３*Ａ）2＋（２／３*Ａ）2）1/2
すべての電荷の寄与は等しいので、電位Φは、
Φ＝３*Ｑ／4πε0（Ａ2／９＋２*４／９*Ａ2）1/2
＝３Ｑ／4πε0Ａ（Ｖ）
ｂ （Ａ，Ａ，Ａ）における電界と電位を求めよ。
答
（Ａ，０，０）の電荷による電界は、Ｑ／4πε0（（Ａ－Ａ）2＋Ａ2＋Ａ2）3/2*（０，Ａ，Ａ）
他の点電荷による電界も同様に表してたせば、
Ｅ＝Ｑ／4πε0（２*Ａ2）3/2*（Ａ，Ａ，Ａ）*２
＝Ｑ／4√2πε0Ａ2*（１，１，１）（Ｖ／ｍ）
＝Ｑ／4√2πε0Ａ2*√3（１，１，１）／√3（Ｖ／ｍ）
原点より、（１，１，１）に向かう方向で、大きさは√3Ｑ／4√2πε0Ａ2（Ｖ／ｍ）
成分なら、（Ｑ／4√2πε0Ａ2，Ｑ／4√2πε0Ａ2，Ｑ／4√2πε0Ａ2）（Ｖ／ｍ）
（Ａ，０，０）の電荷による電位は、Ｑ／4πε0（（Ａ－Ａ）2＋Ａ2＋Ａ2）1/2
すべての電荷の寄与は等しいので、電位Φは、
Φ＝３*Ｑ／4πε0（２*Ａ2）1/2
＝３Ｑ／4√2πε0Ａ（Ｖ）
ｃ （Ａ，Ａ，Ａ）にｑ（ｃ）の点電荷がある。この電荷の受ける力を求めよ。
答
ｂで求めたように点（Ａ，Ａ，Ａ）での電界は、Ｑ／4√2πε0Ａ2*（１，１，１）であるから力は、ｑをかけて
成分で表すと（ｑＱ／4√2πε0Ａ2，ｑＱ／4√2πε0Ａ2，ｑＱ／4√2πε0Ａ2）
（または、大きさ√3ｑＱ／4√2πε0Ａ2で原点より（１，１，１）の方向）
これ以降はありません
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