右図のように、X,Y,Z軸で与えられる空間に点Ｒ(x,y,z)（X,Y,Z軸の原点ＯとＲを結ぶベクトルはＲ=(x,y,z)となる。）を考え、 点Ｒにおける任意ベクトルＡ(x,y,z)(=Ａ(Ｒ)）の円柱座標によるベクトル表現について考える。
まず、点Ｒを側面に含むZ軸方向に向いた円柱を考える。円柱をZ軸の正の方向から眺めると点Ｒは、XY面内に与えられる。 この面内で円柱の半径（Z軸と点Ｒとの距離）をr、Ｚ軸（XY面の原点）と点Ｒを結ぶ線のX軸からみた角度をφとすると、 点Ｒは(x,yの二変数の代わりに)r,φの二変数によっても与えられる。
zの変数はそのまま用いて、点Ｒはr,φ,zの三変数によっても（x,y,zを用いるのと同様に）一意に与えられることがわかる。
今それぞれの変数に対応した単位ベクトルを考える。rの増加する方向(ｅr)、とφの増加する方向(ｅφ)と、
zの増加する方向(ｅz)は、図中の方向になるので互いに直交することが分かる。ｅzの方向は、
ｅrからｅφへと右ねじを右に回した時に進む方向になっている。
(外積の表現を使えば、ｅz＝ｅr×ｅφで、
ｅr、ｅφ、ｅzの順で右手系の座標系になる。）
よって、図中で示したｅr,ｅφ,ｅzが(r,φ,z)で点を表すときのそれぞれの変数の座標軸の方向を表す。
三次元空間の点Ｒを(r,φ,z)で表し、その点で与えられるベクトルＡ(Ｒ)(=Ａ(r,φ,z))をｅr,ｅφ, ｅz方向(r,φ,z軸)の成分に分解して Ａ=(Ａr，Ａφ，Ａz)と表現するのが、円柱座標系である。
（この座標系では、xyz座標系と違って、r軸とφ軸の方向（ｅrとｅφ）は場所によって異なり、
ｅr（φ），ｅφ（φ）のように、φの関数となる。）
ここで、xyz座標と円柱座標の関係を示す。図より、xy平面内の変数変換は、
x=rｃｏｓφ､y=rｓｉｎφ
逆にとけば、
r=（x2+y2）1/2
φ=Ｔａｎ-1(y/x)(0＜x),φ=Ｔａｎ-1(y/x)+π (x<0)
xyz座標で表して、
∂Ｒ／∂ｒ＝（ｃｏｓφ、ｓｉｎφ、０）
∂Ｒ／∂φ＝（－ｒｓｉｎφ、ｒｃｏｓφ、０）＝ｒ（－ｓｉｎφ、ｃｏｓφ、０）
であるので、座標軸の方向の単位ベクトルは、
ｅr＝ｃｏｓφｅx＋ｓｉｎφｅy
ｅφ＝－ｓｉｎφｅx＋ｃｏｓφｅy
逆に解いて、
ｅx＝ｃｏｓφｅr－ｓｉｎφｅφ
ｅy＝ｓｉｎφｅr＋ｃｏｓφｅφ
と表される。
| ⊿Ｒ＝ | ∂Ｒ ∂ｒ | ⊿ｒ＋ | ∂Ｒ ∂φ | ⊿φ＋ | ∂Ｒ ∂ｚ | ⊿ｚ |
ｅφの方向は、ｅrをπ/2回転させた方向（円の接線方向）と一致している。
（ｃｏｓ(φ+π/2)ｅx+ｓｉｎ(φ+π/2)ｅy＝ｅφとなっている。）
Ａ=Ａrｅr+Ａφｅφ+Ａzｅz
=Ａr(ｃｏｓφｅx+ｓｉｎφｅy)+Ａφ(-ｓｉｎφｅx+ｃｏｓφｅy)+Ａzｅz
=(Ａrｃｏｓφ-Ａφｓｉｎφ)ｅx+(Ａrｓｉｎφ+Ａφｃｏｓφ)ｅy+Ａzｅz
=Ａｘｅｘ＋Ａｙｅｙ＋Ａｚｅｚ
これが、xyz座標と円柱座標のベクトル成分相互の関係となる。
（単位ベクトルにかかる係数がそれぞれの軸方向の成分を表す。）
Ａｘ＝Ａrｃｏｓφ-Ａφｓｉｎφ
Ａｙ＝Ａrｓｉｎφ+Ａφｃｏｓφ