ベクトルの外積

　右の図において、ベクトルＡ（＝（Ａ_ｘ，Ａ_ｙ，Ａ_ｚ））と Ｂ（＝（Ｂ_ｘ，Ｂ_ｙ，Ｂ_ｚ））を考える。
　ただし、Ａ、Ｂとも始点はＯにあるとする。

　このとき、次のような成分で表されるベクトルをＡ×Ｂと表現し、ベクトルＡ、Ｂの外積という。
　Ａ×Ｂ＝（Ａ_ｙＢ_ｚ−Ｂ_ｙＡ_ｚ， Ａ_ｚＢ_ｘ−Ｂ_ｚＡ_ｘ，Ａ_ｘＢ_ｙ−Ｂ_ｘＡ_ｙ）

このベクトルは、単位ベクトルｅ_ｘ，ｅ_ｙ，ｅ_ｚを使えば、
　Ａ×Ｂ＝（Ａ_ｙＢ_ｚ−Ｂ_ｙＡ_ｚ）ｅ_ｘ ＋（Ａ_ｚＢ_ｘ−Ｂ_ｚＡ_ｘ）ｅ_ｙ ＋（Ａ_ｘＢ_ｙ−Ｂ_ｘＡ_ｙ）ｅ_ｚ

と表現され、３×３の行列の行列式の計算を記号的に用いれば、次のようにも表される。

以下に、外積の性質（ベクトルの大きさ、方向、など）について説明する。

　上の成分の計算式を参考にして　Ｂ×Ａ　を求める。
　Ｂ×Ａ
　　　　＝（Ｂ_yＡ_z−Ａ_yＢ_z，Ｂ_zＡ_x−Ａ_zＢ_x ，Ｂ_xＡ_y−Ａ_xＢ_y）
　　　　＝−（Ａ_yＢ_z−Ｂ_yＡ_z，Ａ_zＢ_x−Ｂ_zＡ_x ，Ａ_xＢ_y−Ｂ_xＡ_y）
　　　　＝−Ａ×Ｂ

　よって、Ｂ×Ａ＝−Ａ×Ｂ　（交換すると符号が変わる。）

　Ｃ＝（Ｃ_x，Ｃ_y，Ｃ_z）とし、（Ａ＋Ｃ）×Ｂを計算する。
　Ａ±Ｃ＝（Ａ_x±Ｃ_x，Ａ_y±Ｃ_y，Ａ_z±Ｃ_z）より、
先の計算のベクトル表現を参考にして、
　（Ａ±Ｃ）×Ｂ
　＝（（Ａ_y±Ｃ_y）Ｂ_z−Ｂ_y（Ａ_z±Ｃ_z））ｅ_x ＋（（Ａ_z±Ｃ_z）Ｂ_x−Ｂ_z（Ａ_x±Ｃ_x））ｅ_y ＋（（Ａ_x±Ｃ_x）Ｂ_y−Ｂ_x（Ａ_y±Ｃ_y））ｅ_z

　＝（Ａ_yＢ_z−Ｂ_yＡ_z）ｅ_x ＋（Ａ_zＢ_x−Ｂ_zＡ_x）ｅ_y ＋（Ａ_xＢ_y−Ｂ_xＡ_y）ｅ_z ±（（Ｃ_yＢ_z−Ｂ_yＣ_z）ｅ_x ＋（Ｃ_zＢ_x−Ｂ_zＣ_x）ｅ_y ＋（Ｃ_xＢ_y−Ｂ_xＣ_y）ｅ_z）

　＝Ａ×Ｂ±Ｃ×Ｂ

　よって、（Ａ±Ｃ）×Ｂ＝Ａ×Ｂ±Ｃ×Ｂ　（分配則が成り立つ。）

　上で、Ｂ＝aＡ、Ｃ＝０　とおいて、Ａ×（ａＡ）を計算すると、
　（ａＡ）×Ａ＝aＡ×Ａ＝０　となる。

　平行なベクトルの外積は０である。（一方のベクトルを他方のベクトルに対して平行な成分と垂直な成分に分解して、分配則も用いれば、 任意の二つのベクトルの外積は、二つのベクトルの互いに直交する成分のみで決まることが分かる。）

外積の大きさについて考える。

＝（Ａ_xＢ_y−Ａ_yＢ_x）² ＋（Ａ_yＢ_z−Ａ_zＢ_y）²＋（Ａ_zＢ_x−Ａ_xＢ_z）²
この式を外積の成分と比較すれば、第一項は外積Ａ×Ｂのｚ成分の２乗、第２項はｘ成分の２乗、第３項はｙ成分の２乗になっている。よって、この式は、（外積を表す）ベクトルＡ×Ｂの大きさの２乗を表すことが分かる。ゆえに、

　　（｜Ａ｜｜Ｂ｜ｓｉｎθ）²＝｜Ａ×Ｂ｜²
　０≦θ≦π　とすれば、
　　｜Ａ｜｜Ｂ｜ｓｉｎθ＝｜Ａ×Ｂ｜
ここで、｜Ａ｜｜Ｂ｜ｓｉｎθは、ＡとＢを二辺とする平行四辺形の面積に相当するので、
外積　Ａ×Ｂ　の大きさは、ベクトルＡとＢを二辺とする平行四辺形の面積を表すことが分かる。

外積の方向について考える。

　　　　（Ａ×Ｂ）・Ａ＝０　同様にして、（Ａ×Ｂ）・Ｂ＝０
ゆえに、外積Ａ×ＢはベクトルＡおよび、Ｂに垂直であることが分かる。
Ａ×Ｂは、Ａ、Ｂを位置ベクトルとしたとき、二つのベクトルを含む平面に垂直な方向になっている。
（平面に垂直な方向は、平面に裏表があるように二つの方向がある（一方をｈとすれば、−ｈの方向）。 下で示すようにＡ×Ｂの方向は、Ａの方向からＢの方向へ 鋭角で’右ねじを’回転したとき、右ねじの進む方向になっている。）
（言葉を換えれば、ＡとＢの始点をそろえて空間においたとき、自身が始点に立ったとき、それぞれのベクトルを矢に見立てて、 ’左手でＡの矢’を’右手でＢの矢’を握ったとき’体の向いている方向’がＡ×Ｂの方向 （×記号の左側のベクトルを左手に右側のベクトルを右手に握ったとき体の向いている方向）である。）

　 外積Ａ×Ｂは、Ａ，Ｂを位置ベクトルと見立てたとき、大きさが辺Ａ、Ｂからなる平行四辺形の面積、 方向がＡ、Ｂの作る平面に垂直で、ＡからＢへ右ねじを回して進む方向のベクトルを表す。 （Ａ、Ｂを用いた成分は、先に表した。）

　
　平面において単位ベクトルｅ_xとｅ_yに垂直な方向は、面の表側と面の裏側に対応して二つの方向がある。 このどちらかの方向に第三軸を選べば、空間を表す座標に対する単位ベクトルの組ができる。平面に座標を表すベクトルを設定したときに 第一の座標を表すベクトルをｅ_x、第二の座標を表すベクトルをｅ_yと仮におけば、 ｅ_xからｅ_yへ右ねじを回したとき進む方向（外積ｅ_x×ｅ_yの与える方向） で面の表裏は一意に決定される。面の表側を外積の与える方向とし、この方向に座標の第三軸（例えば、ｅ_z）を割り当てる座標系を右手系という。（こうなるように外積を定義した。）
実際計算してみてもｅ_x×ｅ_y＝ｅ_zになっていることが確認される。
（上で、（１，０，０）と（０，１，０）の外積を計算すればよい。ノートにｘ軸とｙ軸を描くとノートの表面から自分の方に、ｚ軸が伸びている。）
図より簡単に、ｅ_y×ｅ_z＝ｅ_x、 ｅ_z×ｅ_x＝ｅ_yになっていることが分かる。
（ｘ，ｙ，ｚに関して循環している）実際計算しても容易に確認される。

他の座標表現においても右手系になっている。
例えば、円柱座標では、ｅ_r×ｅ_φ＝ｅ_z
　　　　極座標では、　ｅ_r×ｅ_θ＝ｅ_φ

平行六面体の体積

　　Ｖ＝（Ａ×Ｂ）・Ｃ＝（Ｂ×Ｃ）・Ａ＝（Ｃ×Ａ）・Ｂ
が一つの組になる。
　Ａ、Ｂ、Ｃ　が右手系の関係になっていれば、上の体積は正。左手系の関係になっていれば、上の体積は負になる。

　Ａ，Ｂ,Ｃを辺とする平行六面体の体積は、（Ａ×Ｂ）・Ｃであらわされ、この値の正負は、 Ａ,Ｂ,Ｃベクトル相互の方位関係（右手系になっているか？左手系になっているか？を表す。 もし負になっていれば、Ｂ，Ａ，Ｃが右手系になっていることを示す。

　一般に座標は、右手系になるように選ぶので、座標軸を表すベクトルで、このような計算を行えば（直交座標系なら大きさは１で）正の値になっているはずである。 （第一軸×第二軸の外積により第三軸を決めるのであるから当然である。）

Ａ×Ｂが、ＡからＢへ右ねじを回したときにねじの進む方向になっていることの説明

Ａ₀→Ａ、Ｂ₀→Ｂの変換行列を求める。 変換行列は次のように表される。


ｌ_x²＋ｌ_y²＋ｌ_z²＝１である。この行列の成分には、次の関係がある。



これより、ｌ_x、ｌ_y、ｌ_z、ξ、ζ、とＡ、Ｂの成分の関係は、次のようになる。

これらの式より、ｌ_x、ｌ_y、ｌ_z、ζ、ξを求めることができる。
　こうして得られた回転変換により、Ａ、Ｂより、Ａ₀、Ｂ₀を得て、Ａ₀×Ｂ₀（＝Ｃ₀）を求めれば、Ａ₀,Ｂ₀、Ｃ₀の関係は、Ａ、Ｂ、Ｃの関係と等しい。そこで、Ｃ₀のＡ₀、Ｂ₀との関係について考える。
　成分で考えれば、外積の定義より、

　Ｃ₀＝（−|Ａ||Ｂ|ｓｉｎζ，０，０）

　このベクトルは、もし、|Ｂ|ｓｉｎζ（Ｂ₀のｙ成分）が正ならｘ軸の負の方向を向き、|Ｂ|ｓｉｎζが負ならｘ軸の正の方向を向くことが分かる。 この結果より、外積の方向は、Ａ₀からＢ₀に右ねじを（鋭角に）回したときに右ねじの進む方向と一致することが分かる。
　Ａ、Ｂ、Ａ×Ｂにも同様の関係があることから、一般に外積Ａ×Ｂの方向は、 Ａ，Ｂにより作られる面に垂直でＡからＢへ右ねじを右に回したときにねじの進む方向 （始点に立って、Ａを左手にＢを右手に掴んだとき体の向いている方向）であるといえる。

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