円柱座標の座標変数に対する単位ベクトルは、ｘｙｚ座標に対して次のような変換により与えられる。
ｅr=ｃｏｓφｅx+ｓｉｎφｅy
ｅφ=-ｓｉｎφｅx+ｃｏｓφｅy
ｅｚ=ｅz
座標軸を表す単位ベクトルはφのみの関数であるから、φについての微分だけ０でない。よって、座標変数に対する微分は次のようになる。
∂ｅr／∂φ=−ｓｉｎφｅx＋ｃｏｓφｅy＝ｅφ
∂ｅφ／∂φ=−ｃｏｓφｅx−ｓｉｎφｅy＝−ｅr
∂ｅｚ／∂φ=０
あらためて書けば、
| ∂ｅr ∂φ | ＝ｅφ |
| ∂ｅφ ∂φ | ＝−ｅr |
| ∂ｅｚ ∂φ | ＝０ |
極座標の座標変数に対する単位ベクトルは、ｘｙｚ座標に対して次のような変換により与えられる。
ｅr=ｓｉｎθｃｏｓφｅx+ｓｉｎθｓｉｎφｅy+ｃｏｓθｅz
ｅθ=ｃｏｓθｃｏｓφｅx+ｃｏｓθｓｉｎφｅy-ｓｉｎθｅz
ｅφ=-ｓｉｎφｅx+ｃｏｓφｅy
座標軸を表す単位ベクトルはθとφの関数であるから、θとφについての微分だけ０でない。よって、座標変数に対する微分は次のようになる。
∂ｅr／∂θ=ｃｏｓθｃｏｓφｅx+ｃｏｓθｓｉｎφｅy-ｓｉｎθｅz
＝ｅθ
∂ｅθ／∂θ=−ｓｉｎθｃｏｓφｅx−ｓｉｎθｓｉｎφｅy−ｃｏｓθｅz
＝−（ｓｉｎθｃｏｓφｅx＋ｓｉｎθｓｉｎφｅy＋ｃｏｓθｅz）＝−ｅr
∂ｅφ／∂θ＝０
∂ｅr／∂φ=ｓｉｎθ（−ｓｉｎφｅx+ｃｏｓφｅy）＝ｓｉｎθｅφ
∂ｅθ／∂φ=ｃｏｓθ（−ｓｉｎφｅx+ｃｏｓφｅy）＝ｃｏｓθｅφ
∂ｅφ／∂φ=−ｃｏｓφｅx−ｓｉｎφｅy
＝−（ｃｏｓφｅx＋ｓｉｎφｅy）
ここで、ｓｉｎθｅr＋ｃｏｓθｅθ＝ｃｏｓφｅx＋ｓｉｎφｅyであるから、
∂ｅφ／∂φ＝−（ｓｉｎθｅr＋ｃｏｓθｅθ）
あらためて書けば、
| ∂ｅr ∂θ | ＝ｅθ |
| ∂ｅθ ∂θ | ＝−ｅr |
| ∂ｅφ ∂θ | ＝０ |
| ∂ｅr ∂φ | ＝sinθｅφ |
| ∂ｅθ ∂φ | ＝cosθｅφ |
| ∂ｅφ ∂φ | ＝−（sinθｅr＋cosθｅθ） |