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電気磁気学Ｉ （１９９８年度　後期　本試験）　答の解説コーナー

I　真空中に充分長い外半径Ｒ1(m) の円筒導体１と内半径Ｒ2(m) の円筒導体２が同軸状に配置されている。 以下の問いに答えよ。（Ｒ1＜Ｒ2とする。）

　①　円筒導体２を接地して、円筒導体１に単位面積当たりσ(C/m2) の電荷を与えたとき、電界の方向が円筒導体の中心軸に対して垂直になることを説明せよ。

答

 電気磁気学I　'97　12/5 提出期限のレポートの略解IIを参考にする。 　電界を知りたい点をＲとし、Ｒから円筒の中心軸に下ろした垂線の足をＯとする。Ｏを通って、円筒の中心軸に垂直な面Ｓ⊥で、 円筒をＡ，Ｂの二つの領域に分ける。電界は、すべての電荷の作る電界の合成で与えられるのであるから、Ａ，Ｂのそれぞれの領域にある電荷による電界を合成すればよい。
　Ａにある電荷とそれの作る電界ＥAとＢにある電荷とそれの作る電界ＥBは、面Ｓ⊥に対して対称になっている。 よって、面Ｓ⊥に対して垂直な成分はＥAとＥBで互いにうち消し合う。 ゆえに、ＥAとＥBを合成した電界は、面Ｓ⊥内にしか成分を持たない。
　次に、円筒の中心軸とＲを含む面Ｓ∥で、円筒をａ，ｂの二つの領域に分ければ、電界は、ａ，ｂのそれぞれの領域にある電荷による電界を合成すればよい。
　ａにある電荷とそれの作る電界Ｅaとｂにある電荷とそれの作る電界Ｅbは、面Ｓ∥に対して対称になっている。 よって、面Ｓ∥に対して垂直な成分はＥaとＥbで互いにうち消し合う。 ゆえに、ＥaとＥb∥内にしか成分を持たない。
　上で述べたことをまとめれば、電界は、面Ｓ∥と面Ｓ⊥内の成分しか持たないことが分かる。これが同時に満たされるのは、二つの面の交線ｌの方向である。線ｌは、点Ｏと点Ｒを結ぶ線と同一であるから、電界は、点Ｏと点Ｒを結ぶ方向に向くことが分かる。
　よって、電界は、円筒の中心軸に対して垂直の方向になる。

　②　①において、円筒導体の中心軸からの距離ｒ(m) における電界の大きさを求めよ。

答

電気磁気学I　'97　12/5 提出期限のレポートの略解IIを参考にする。
　円筒の中心軸を中心軸にした長さＬ(m)、半径ｒ(m)の円柱状の閉曲面で、ガウスの定理を使う。
電界の方向は、中心軸に対して垂直であるから、円柱状の閉曲面において、上面と下面の電界の面積分は'０'になる。よって、側面（円筒部分）だけ考えればよい。 円筒部分では電界の方向と面は垂直で、電界の大きさは等しいので、
　　∫Ｅ・dＳ＝Ｅ∫dＳ＝Ｅ2πｒＬ
　これが、閉曲面内の全電荷をε0で割った値に等しい。
　　ｒ＜Ｒ1の時、電荷はない。　　Ｅ＝０(V/m)
　　Ｒ1＜ｒ＜Ｒ2の時、全電荷量は、σ2πＲ1Ｌ(C)であるから、　　Ｅ＝σＲ1／ε0ｒ(V/m)　　　
　　Ｒ2＜ｒの時、円筒２は、接地されているので、外部には電界は及ばない。　　Ｅ＝０(V/m)　　　
　（接地されていると言うことは無限遠方の電位と同じと言うこと、無限遠方からＲ2まで、電界を位置に対して積分して’０’であるから、 円筒２の外のすべての領域で電界は０（V/m）である。こうなるように接地を通して円筒２に電荷が移動する。）

　③　①において、円筒導体１の電位を求めよ。

答

電気磁気学I　'97　12/5 提出期限のレポートの略解IIを参考にする。 円筒１の電位Ｖは、円筒２（基準電位）から円筒１まで電界を積分すれば得られる。
　Ｖ＝∫－Ｅ・dｒ（ｒ；Ｒ2→Ｒ1）
　　＝－∫σＲ1／ε0ｒ・dｒ（ｒ；Ｒ2→Ｒ1）
　　＝－σＲ1／ε0・（ｌｏｇ（Ｒ1）－ｌｏｇ（Ｒ2））
　　＝σＲ1／ε0・ｌｏｇ（Ｒ2／Ｒ1）(V)

　④　①において、単位長さ当たりの静電容量を求めよ。

答

　Ｌ(m)当たりの電荷量Ｑは、2πＲ1Ｌσ(C)であるから、Ｌ(m)の長さにおける静電容量Ｃ(F)は、
　Ｃ＝Ｑ／Ｖ＝2πＲ1Ｌσ／（σＲ1／ε0・ｌｏｇ（Ｒ2／Ｒ1））
　　＝2πε0Ｌ／ｌｏｇ（Ｒ2／Ｒ1）(F)
　単位長さ当たりの静電容量ＣL＝Ｃ／Ｌであるから、
　ＣL＝2πε0／ｌｏｇ（Ｒ2／Ｒ1）(F/m)

　⑤　③において、全体を比誘電率εrの媒質で満たした。電位はどうなるか。

答

電界が比誘電率に反比例して減少するので、電位も比誘電率に反比例して減少する。
σＲ1／ε0εr・ｌｏｇ（Ｒ2／Ｒ1）(V)

　⑥　⑤において、εr＝２、Ｒ1＝１.１(mm)、Ｒ2＝３(mm)とする。円筒導体１、２間の単位長さ当たりの静電容量はいくらか。 （loge(3/1.1)＝1.0 として計算してもよい）

答

④を参考にすれば、誘電媒質中も単位長さ当たりの静電容量は、2πε0εr／ｌｏｇ（Ｒ2／Ｒ1）(F/m)である。
　値を代入すると
　110pF

II　真空中に半径Ｒ(m) のｑ(C)に帯電した導体球がある。次の問に答えよ。

　①　導体球の電位を求めよ。

答

 中心から距離Ｈ(m)の点における電界Ｅは、導体球の中心を中心とする半径Ｈ(m)の球状の閉曲面に対してガウスの定理使って求めることができる。 電界は、導体球の中心から外に向かう方向である。
ｒ＞Ｒの場合だけ考えればよいので、４πｒ2Ｅ＝ｑ／ε0
導体球の電位Ｖは、Ｖ＝－∫ＥdＨ（Ｈ；∞→Ｒ）＝－∫ｑ／４πε0Ｈ2・dＨ＝ｑ／４πε0Ｒ(V)

　②　導体球の中心からｒ(m)の位置にＱ(C)の点電荷を近づけたとき、導体球の電位を求めよ。（Ｒ＜ｒとする。）

答

接地していない導体球に対する影像電荷の項を参考にする。 導体球表面での電界を表面に対して、垂直にする影像電荷については、Ｑ(c)の電荷と合わせて、導体球の電位を'０'にするので、考慮する必要はない。 電位を考慮すべき電荷は、最初から導体球に与えられていたｑ(c)の電荷と、導体球の全電荷を不変に保つために中心に与えるＱＲ／ｒ(C)の電荷である。 導体球に与えられたｑ＋ＱＲ／ｒ(c)の電荷が与える電位を求めればよい。 よって、①と同様にして、
（ｑ＋ＱＲ／ｒ）／４πε0Ｒ(V)　（＝（ｑ／４πε0Ｒ＋Ｑ／４πε0ｒ）(V)）

III　真空中の点（１，０，０）(m)に１(C)の電荷、点（０，１，０）(m)に１(C)の電荷、点（０，０，１）(m)に１(C)の電荷がある。以下の問いに答えよ。

　①　原点における電界、電位、電束密度、単位体積当たりの静電エネルギーを求めよ。

答

 それぞれの電荷が原点に与える電束密度，電位はそれぞれ、
（１，０，０）の電荷に対して、　（－１／４π，０，０）(c/m2)　　１／４πε0(V)
（０，１，０）の電荷に対して、　（０，－１／４π，０）(c/m2)　　１／４πε0(V)
（０，０．１）の電荷に対して、　（０，０，－１／４π）(c/m2)　　１／４πε0(V)
よって、
電位は　　　　　　　　　　　　３／４πε0(V)　（＝２７×１０9(V)）
電束密度は　　　　　　　　　（－１／４π，－１／４π，－１／４π）(c/m2)
　　　　　　　　　　　　　　（－０.０８，－０.０８，－０.０８）(c/m2) または、大きさ０.１４(C/m2)で(-1,-1,-1)の方向
電界は、Ｄ／ε0より　　（－１／４πε0，－１／４πε0，－１／４πε0）(V/m)
　　　　　　　　　　　　　　（－９×１０9，－９×１０9，－９×１０9）(V/m) または、大きさ１.５×１０10(V/m)で(-1,-1,-1)の方向
単位体積当たりの静電エネルギーは、Ｅ・Ｄ／２より、　３／２（４π）2ε0（J/m3） または、１.１×１０9（J/m3）

　②　全体を比誘電率 2 の媒質で満たした。点（１，１，１）(m)における電界、電位、電束密度を求めよ。

答

それぞれの電荷が点（１，１，１）(m)に与える電束密度，電位はそれぞれ、
（１，０，０）の電荷に対して、　（０，１／４(２)3/2π，１／４(２)3/2π）(c/m2)　　１／４(２)1/2πε0２(V)
（０，１，０）の電荷に対して、　（１／４(２)3/2π，０，１／４(２)3/2π）(c/m2)　　１／４(２)1/2πε0２(V)
（０，０．１）の電荷に対して、　（１／４(２)3/2π，１／４(２)3/2π，０）(c/m2)　　１／４(２)1/2πε0２(V)
電位は　　　　　３／８(２)1/2πε0(V)　（＝９.５×１０9(V)）
電束密度は　　　（１／４(２)1/2π，１／４(２)1/2π，１／４(２)1/2π）(c/m2)
　　　　　　　　　（０.０５６，０.０５６，０.０５６）(c/m2)または、大きさ０.０９７(c/m2)で、(1,1,1)の方向
電界は　　　　　（１／８(２)1/2πε0，１／８(２)1/2πε0，１／８(２)1/2πε0）(V/m)
　　　　　　　　　（３.２×１０9，３.２×１０9，３.２×１０9）(V/m)または、大きさ５.５×１０9(V/m)で、(1,1,1)の方向

　

これ以降はありません

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