① 任意の点において、電界はどちらを向いているか？
② ①を参考にして適当に座標を設定して、任意の点における電界を（ベクトルとして）求めよ。
③ 無限遠を基準として電位を求めよ。
④ ②の電界と③の電位の分布をグラフにより表現せよ。
⑤ ②において、ρＴ＝σ（一定）として、Ｔ→０にしたとき、電界及び、電位の分布はどのようになるか？
⑥ ⑤の電界及び電位をグラフで表せ。
I 内半径 Ｒ（ｍ）、外半径 Ｒ＋Ｔ（ｍ） の球殻状に電荷密度 ρ（Ｃ／ｍ3） で一様に電荷が分布している。以下の問いに答えよ。
① 任意の点において、電界はどちらを向いているか？
② ①を参考にして適当に座標を設定して、任意の点における電界を（ベクトルとして）求めよ。
③ 無限遠を基準として電位を求めよ。
④ ②の電界と③の電位の分布をグラフにより表現せよ。
⑤ ②において、ρＴ＝σ（一定）として、Ｔ→０にしたとき、電界及び、電位の分布はどのようになるか？
⑥ ⑤の電界及び電位をグラフで表せ。
解答例
① 分布する電荷を細かく空間的に刻んで、刻んだそれぞれの空間に存在する電荷を点電荷と見なせば、電界はそれぞれの点電荷の作る電界の合成で与えられる。
いま、細かく刻んだ球殻中のある電荷に注目すれば、その電荷に対して’球殻の中心と電界を求めたい点を結んだ’軸に対照な点の電荷を考えると、
この二つの電荷による合成電界の方向は、’球殻の中心と電界を求めたい点を結んだ軸’に平行になる。
球殻中のすべての電荷に対してこのような電荷のペアを考えることができることを考慮すれば、球殻中のすべての電荷による電界の方向は、
’球殻の中心と電界を求めたい点を結んだ方向’になることが分かる。
’ガウスの定理を利用した電界の計算 球状に閉曲面を選ぶ。’を参考にしてもよい。
②講義のポイントの’電界の計算 ２’の項で既に求めたので、参考にする。
ベクトルとしての表現は、電界の方向が球殻の中心と電界を求めたい点を結んだ方向’であることを考慮して、
球殻の中心から電界を求めたい点へ至るベクトルＨの大きさをＨ、単位ベクトルをｅHとすれば、
Ｅ＝０ （Ｈ＜Ｒ）
Ｅ＝ρ(Ｈ3-Ｒ3)/3ε0Ｈ2ｅH （Ｒ＜Ｈ＜Ｒ＋Ｔ）
Ｅ＝ρ((Ｒ+Ｔ)3-Ｒ3)/3ε0Ｈ2ｅH （Ｒ＋Ｔ＜Ｈ）
または、球殻の中心を原点にした座標系によって、電界を知りたい点の座標が（Ｈx、Ｈy、Ｈz）（＝Ｈ）で表されれば、
上の電界の表現において、Ｈ＝|Ｈ|＝（Ｈx2＋Ｈy2＋Ｈz2）1/2
ｅH＝Ｈ／Ｈ＝（Ｈx、Ｈy、Ｈz）／（Ｈx2＋Ｈy2＋Ｈz2）1/2で置き換えれば、成分としての表現になる。
③電界より求めるなら、’電位の計算 ２（電界を積分する）’を参考にする。
電荷分布から直接電位を求めるなら、’電荷が連続的に分布しているときの電位の計算例 体積積分’を参考にする。
④略したグラフは、’電荷が連続的に分布しているときの電位の計算例 体積積分’に表してある。
⑤Ｔ→０なので Ｒ＜Ｈ＜Ｒ＋Ｔの領域が無くなる。上の電界の式で、ρＴ＝σを考慮して変形すれば、
Ｈ＜Ｒの領域では、 Ｅ＝０（Ｈ＜Ｒ）
Ｒ＜Ｈの領域では、
Ｅ＝ρ((Ｒ+Ｔ)3-Ｒ3)/3ε0Ｈ2ｅH
＝ρ（Ｒ3＋3Ｒ2Ｔ＋3ＲＴ2＋Ｔ3-Ｒ3)/3ε0Ｈ2ｅH
＝（Ｒ2σ＋σＲＴ＋σＴ2／３）/ε0Ｈ2ｅH
＝Ｒ2σ/ε0Ｈ2ｅH （Ｔ→０なので、）
電位も同様にして、
φ＝Ｒσ/ε0 （Ｈ＜Ｒ）
φ＝Ｒ2σ/ε0Ｈ （Ｒ＜Ｈ）
⑥略したグラフは、’電荷が連続的に分布しているときの電位の計算例 面積分’に表してある。
II 半径 Ｒ1（ｍ） の無限長の円筒表面に面電荷密度 σ1（Ｃ／ｍ2）で一様に電荷が分布している。以下の問いに答えよ。
① 任意の点において、電界はどちらを向いているか？
② ①を参考にして適当に座標を設定して、任意の点における電界を（ベクトルとして）求めよ。
③ 円筒の中心を基準として電位を求めよ。
④ ②の電界および③の電位の分布をグラフにより表現せよ。
解答例
① 電界を知りたい点を含む円筒の中心軸に垂直な平面を考えると、この平面の両側で電荷分布は平面に対して対称であるから、電界の方向はこの平面内にある。
また、電界を知りたい点と円筒の中心軸を含む平面を考えると、この平面の両側で電荷分布は平面に対して対称であるから、電界の方向はこの平面内にある。
この二つの電界の方向の条件を同時に満たすのは、円筒の中心軸から外に向かう方向である。
② ガウスの定理を利用した電界の計算 円柱状（缶の形）に閉曲面を選ぶ。において、
ρＴ＝σ1、Ｔ→０ とおけば、電界の大きさが得られる。円筒の中心軸より電界の知りたい点までの距離をｒ、
電界を知りたい点から円筒の中心軸に下ろした垂線の足から電界を知りたい点に至る位置ベクトルの単位ベクトルをｅrとすれば、
ｒ＜Ｒ1のとき Ｅ＝０
Ｒ1＜ｒのとき Ｅ＝σ1Ｒ1/ε0ｒ*ｅr
円筒の中心軸をｚ軸にとり、ｘｙ座標を適当に定めれば、電界を知りたい点の座標を（ｘ、ｙ、ｚ）として
ｅr＝（ｘ，ｙ，０）／（ｘ2＋ｙ2）1/2であるから、電界を成分で表せば、
ｒ＜Ｒ1のとき Ｅ＝０
Ｒ1＜ｒのとき Ｅ＝σ1Ｒ1/ε0（ｘ2＋ｙ2）*（ｘ，ｙ，０）
③ 電位の計算 ２（電界を積分する）において、ρＴ＝σ1、Ｔ→０ とおけばよい。
ｒ＜Ｒ1のとき φ＝０
Ｒ1＜ｒのとき φ＝σ1Ｒ1/ε0*ｌｏｇ（Ｒ1／ｒ）
④ 電界は右に赤線で、電位は右に青線で示す。
III 表面に面電荷密度 σ1（Ｃ／ｍ2）で一様に電荷が分布する半径 Ｒ1（ｍ）の無限長円筒と表面に面電荷密度 σ2（Ｃ／ｍ2）で一様に電荷が分布する半径 Ｒ2（ｍ）の無限長円筒が、同軸状に存在している。以下の問いに答えよ。
① 任意の点において、電界はどちらを向いているか？
② ①を参考にして適当に座標を設定して、任意の点における電界を（ベクトルとして）求めよ。
③ 円筒の中心を基準として電位を求めよ。
④ ②の電界および③の電位の分布をグラフにより表現せよ。
⑤ σ1Ｒ1＝－σ2Ｒ2＝λ／２π（Ｃ／ｍ）のとき②の電界及び③の電位はどの様に表されるか？
⑥ ⑤において電界と電位の分布をグラフにより表現せよ。
解答例
この問題は、電界や電位がすべての点電荷による重ね合わせであることを考えれば、二つの円柱のそれぞれについて、独立に電界及び電位を求めて重ねればよい。
① 同軸状に２本の円柱があるので、電界は先に示した（Ⅱの課題の）円柱が１本の場合の方向と同様になって、電界の方向は、同軸の中心軸から外に向かう方向
② Ⅱの課題の答を参考にして、Ⅱと同様に座標設定すれば、Ｒ1＜Ｒ2として、円筒の中心軸より電界の知りたい点までの距離をｒ、
電界を知りたい点から円筒の中心軸に下ろした垂線の足から電界を知りたい点に至る位置ベクトルの単位ベクトルをｅrとすれば、
ｒ＜Ｒ1のとき Ｅ＝０
Ｒ1＜ｒ＜Ｒ2のとき Ｅ＝σ1Ｒ1/ε0ｒ*ｅr
Ｒ2＜ｒのとき Ｅ＝（σ1Ｒ1＋σ2Ｒ2）/ε0ｒ*ｅr
円筒の中心軸をｚ軸にとり、ｘｙ座標を適当に定めれば、電界を知りたい点の座標を（ｘ、ｙ、ｚ）として
ｅr＝（ｘ，ｙ，０）／（ｘ2＋ｙ2）1/2であるから、電界を成分で表せば、
ｒ＜Ｒ1のとき Ｅ＝０
Ｒ1＜ｒ＜Ｒ2のとき Ｅ＝σ1Ｒ1/ε0（ｘ2＋ｙ2）*（ｘ，ｙ，０）
Ｒ2＜ｒのとき Ｅ＝（σ1Ｒ1＋σ2Ｒ2）/（ｘ2＋ｙ2）*（ｘ，ｙ，０）
③ ②で求めた電界を積分しても求まるが、ここでは２つの円筒による電位の重ね合わせにより求める。
ｒ＜Ｒ1のとき φ＝０
Ｒ1＜ｒ＜Ｒ2のとき φ＝σ1Ｒ1/ε0*ｌｏｇ（Ｒ1／ｒ）
Ｒ2＜ｒのとき φ＝σ1Ｒ1/ε0*ｌｏｇ（Ｒ1／ｒ）
＋σ2Ｒ2/ε0*ｌｏｇ（Ｒ2／ｒ）
④下にいくつかの場合について、電界を赤線で、電位を青線で示す。
⑤条件を代入して、
ｒ＜Ｒ1のとき Ｅ＝０
Ｒ1＜ｒ＜Ｒ2のとき Ｅ＝λ/2πε0ｒ*ｅr
Ｒ2＜ｒのとき Ｅ＝０
ｒ＜Ｒ1のとき φ＝０
Ｒ1＜ｒ＜Ｒ2のとき φ＝λ/２πε0*ｌｏｇ（Ｒ1／ｒ）
Ｒ2＜ｒのとき φ＝λ/２πε0*ｌｏｇ（Ｒ1／Ｒ2）
⑥右に、λ＞０の場合について、電界を赤線で、電位を青線で示す。