半径Ｒ1,Ｒ2（Ｒ1＜Ｒ2）の厚さの無視できる同軸の無限長円筒に電荷蜜度σ1,σ2(C/m2)で電荷が分布する場合、円筒間の電位を求める。
円筒の中心から距離Ｈの場所での電界を求める。円柱状（缶の形）に閉曲面を選んで、ガウスの定理を利用した電界の計算を参考にする。 電界は、電荷の分布する無限長の円筒の中心より垂直に外に向かう方向であるから、 電荷の分布する無限長の円筒の中心を中心軸にした円筒の側面と電界の方向は垂直である。また、円筒側面上で電界の大きさはすべて等しい。 電荷の分布する円筒の中心を中心軸にして長さＬ半径ｒの円柱型の閉曲面上でガウスの定理左辺の面積分を行なう。 右辺の電荷総量も求めて両辺を等しいとおき電界を求める。
中心軸からの距離ｒにおける円柱側面での電界の大きさをＥとすれば、
左辺=Ｅ2πｒＬ
右辺=0;(ｒ＜Ｒ1)、σ12πＲ1Ｌ/ε0;(Ｒ1＜ｒ＜Ｒ2)、（σ12πＲ1Ｌ＋σ22πＲ2Ｌ）/ε0;(Ｒ2＜ｒ)
左辺=右辺より、
ｒ＜Ｒ1のとき､ Ｅ(ｒ)=0
Ｒ1＜ｒ＜Ｒ2のとき Ｅ(ｒ)=σ1Ｒ1/ε0ｒ
Ｒ2＜ｒのとき Ｅ(ｒ)=(σ1Ｒ1+σ2Ｒ2)/ε0ｒ
電界は、無限長円筒の中心軸から外に向かう方向
さて円筒２を基準にした円筒１の電位Φ21は、-∫Ｅ(ｒ)dｒ（ｒ；Ｒ2〜Ｒ1）であるので、
Φ21=-∫σ1Ｒ1/ε0ｒdｒ（ｒ；Ｒ2〜Ｒ1）
=-[σ1Ｒ1/ε0*logｒ]（ｒ；Ｒ2〜Ｒ1）
=σ1Ｒ1/ε0*log（Ｒ2/Ｒ1）
オマケ
今、円筒２の電位を基準として、中心よりＨの場所での電位Φ(Ｈ)を求める。
Ｒ1＜Ｈ＜Ｒ2のとき
Φ(Ｈ)=-∫Ｅ(ｒ)dｒ（ｒ；Ｒ2〜Ｈ）
=-∫σ1Ｒ1/ε0ｒdｒ（ｒ；Ｒ2〜Ｈ）
=σ1Ｒ1/ε0*log（Ｒ2/Ｈ）
Ｈ＜Ｒ1のとき､ Ｅ(ｒ)=0
Φ(Ｈ)=-∫Ｅ(ｒ)dｒ（ｒ；Ｒ2〜Ｈ）=-（∫Ｅ(ｒ)dｒ（ｒ；Ｒ2〜Ｒ1）+∫Ｅ(ｒ)dｒ（ｒ；Ｒ1〜Ｈ））
=-∫σ1Ｒ1/ε0ｒdｒ（ｒ；Ｒ2〜Ｒ1）
=σ1Ｒ1/ε0*log（Ｒ2/Ｒ1）
Ｒ2＜Ｈのとき
Φ(Ｈ)=-∫Ｅ(ｒ)dｒ（ｒ；Ｒ2〜Ｈ）
=-∫(σ1Ｒ1+σ2Ｒ2)/ε0ｒdｒ（ｒ；Ｒ2〜Ｈ）
=(σ1Ｒ1+σ2Ｒ2)/ε0*log（Ｒ2/Ｈ）
σ1Ｒ1+σ2Ｒ2=０の時には、円筒１から出た電気力線の総数と円筒２に吸収される電気力線の総数は等しくなるので、 円筒の外には、電気力線は出ないので電界が及ばない。