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電界の積分による電位の計算

半径R1,R2(R1<R2)の厚さの無視できる同軸の無限長円筒に電荷蜜度σ12(C/m2)で電荷が分布する場合、円筒間の電位を求める。


 円筒の中心から距離Hの場所での電界を求める。円柱状(缶の形)に閉曲面を選んで、ガウスの定理を利用した電界の計算を参考にする。 電界は、電荷の分布する無限長の円筒の中心より垂直に外に向かう方向であるから、 電荷の分布する無限長の円筒の中心を中心軸にした円筒の側面と電界の方向は垂直である。また、円筒側面上で電界の大きさはすべて等しい。  電荷の分布する円筒の中心を中心軸にして長さL半径rの円柱型の閉曲面上でガウスの定理左辺の面積分を行なう。 右辺の電荷総量も求めて両辺を等しいとおき電界を求める。

中心軸からの距離rにおける円柱側面での電界の大きさをEとすれば、

左辺=E2πrL

右辺=0;(r<R1)、σ12πR1L/ε0;(R1<r<R2)、(σ12πR1L+σ22πR2L)/ε0;(R2<r)

左辺=右辺より、

r<R1のとき、     E(r)=0

1<r<R2のとき  E(r)=σ110

2<rのとき    E(r)=(σ1122)/ε0

電界は、無限長円筒の中心軸から外に向かう方向

さて円筒2を基準にした円筒1の電位Φ21は、-∫E(r)dr(r;R2〜R1)であるので、

   Φ21=-∫σ110rdr(r;R2〜R1

       =-[σ110*logr](r;R2〜R1

       =σ110*log(R2/R1


  オマケ

今、円筒2の電位を基準として、中心よりHの場所での電位Φ(H)を求める。

1<H<R2のとき

   Φ(H)=-∫E(r)dr(r;R2〜H)

      =-∫σ110rdr(r;R2〜H)

       =σ110*log(R2/H)

H<R1のとき、     E(r)=0

   Φ(H)=-∫E(r)dr(r;R2〜H)=-(∫E(r)dr(r;R2〜R1)+∫E(r)dr(r;R1〜H))

      =-∫σ110rdr(r;R2〜R1

       =σ110*log(R2/R1

2<Hのとき

   Φ(H)=-∫E(r)dr(r;R2〜H)

      =-∫(σ1122)/ε0rdr(r;R2〜H)

       =(σ1122)/ε0*log(R2/H)

σ1122=0の時には、円筒1から出た電気力線の総数と円筒2に吸収される電気力線の総数は等しくなるので、 円筒の外には、電気力線は出ないので電界が及ばない。


これでこの項目は終わり

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