Ⅰ 点１（位置ベクトルＲ1）にＱ1（Ｃ）、点２（位置ベクトルＲ2）にＱ2（Ｃ）、
点３（位置ベクトルＲ3）にＱ3（Ｃ）の点電荷がある。以下の問いに答えよ。
① 点１の電荷の受ける力を求めよ。
② 点Ｒ(位置ベクトルＲ）における電界を求めよ。
③ Ｒ1＝（１，０，０）（ｍ）、Ｒ2＝（０，１，０）（ｍ）、Ｒ3＝（０，０，１）（ｍ）、
Ｑ1＝Ｑ2＝Ｑ3＝１×１０-8（Ｃ）のとき、点２の電荷の受ける力を求めよ。
④ ③において、点（０，０，０）（ｍ）、点（１，１，１）（ｍ）、点（１，１，０）（ｍ）のそれぞれの点における電界を求めよ。
⑤ ④の電界を図示せよ。
⑥ Ｒ1＝（１，０，０）（ｍ）、Ｒ2＝（０，１，０）（ｍ）、Ｒ3＝（０，０，１）（ｍ）、
Ｑ1＝Ｑ2＝－Ｑ3＝１×１０-8（Ｃ）のとき、点２の電荷の受ける力を求めよ。
⑦ ⑥において、電気力線を描け。
解答例
① 点１の電荷は、点２と点３のそれぞれの電荷により力を受けるので、それぞれの電荷による力を加えればよい。
Ｆ＝Ｑ1Ｑ2/（４πε0｜Ｒ1－Ｒ2｜2）・ （Ｒ1－Ｒ2）／｜Ｒ1－Ｒ2｜＋ Ｑ1Ｑ3/（４πε0｜Ｒ1－Ｒ3｜2）・ （Ｒ1－Ｒ3）／｜Ｒ1－Ｒ3｜
② 電界は、Ｑ1～Ｑ3のそれぞれの点電荷が作る電界を加えればよいので、
Ｅ＝Ｑ1/（４πε0｜Ｒ－Ｒ1｜2）・ （Ｒ－Ｒ1）／｜Ｒ－Ｒ1｜＋ Ｑ2/（４πε0｜Ｒ－Ｒ2｜2）・ （Ｒ－Ｒ2）／｜Ｒ－Ｒ2｜＋ Ｑ3/（４πε0｜Ｒ－Ｒ3｜2）・ （Ｒ－Ｒ3）／｜Ｒ－Ｒ3｜
③ ①の表現を参考にして表現すれば、点２の電荷の受ける力Ｆ2は、
Ｆ2＝Ｑ1Ｑ2/（４πε0｜Ｒ2－Ｒ1｜2）・ （Ｒ2－Ｒ1）／｜Ｒ2－Ｒ1｜＋ Ｑ2Ｑ3/（４πε0｜Ｒ2－Ｒ3｜2）・ （Ｒ2－Ｒ3）／｜Ｒ2－Ｒ3｜
座標を代入すれば、
Ｒ2－Ｒ1＝（－１，１，０）
Ｒ2－Ｒ3＝（０，１，－１）
この表現と Ｑ1＝Ｑ2＝Ｑ3＝１×１０-8（Ｃ） を考慮して、数値に直せば、
１/４πε0＝９×１０9として、
Ｆ2＝９×１０-7／２・（－１，１，０）／２1/2
＋９×１０-7／２・（０，１，－１）／２1/2
＝９×１０-7／２3/2・（－１，２，－１）
＝（－９×１０-7／２3/2，９×１０-7／２1/2，－９×１０-7／２3/2） (N)
＝９／２・３1/2×１０-7・（－１，２，－１）／６1/2 (N)
④ 電界を知りたい点の座標を（ｘ，ｙ，ｚ）（＝Ｒ）(m)とすれば、②を参考にして
Ｅ＝９０（（ｘ－１，ｙ，ｚ）／（（ｘ－１）2＋ｙ2＋ｚ2）3/2
＋（ｘ，ｙ－１，ｚ）／（ｘ2＋（ｙ－１）2＋ｚ2）3/2
＋（ｘ，ｙ，ｚ－１）／（ｘ2＋ｙ2＋（ｚ－１）2）3/2） [N/C]([V/m])
で与えられる。
⑤に電界のベクトルと併せて示す。
⑤ 電界は、図中に緑で示す。
Ｒ＝（０，０，０）のとき、
Ｅ
＝９０（－１，－１，－１）
＝（－９０，－９０，－９０）[N/C]([V/m])
＝９０・３1/2（－１，－１，－１）／３1/2 [N/C]([V/m])
Ｒ＝（１，１，１）のとき、
Ｅ＝９０（２，２，２）／２3/2
＝（９０／２1/2，９０／２1/2，９０／２1/2）[N/C]([V/m])
＝９０（３／２）1/2（１，１，１）／３1/2 [N/C]([V/m])
Ｒ＝（１，１，０）のとき、
Ｅ
＝９０（１，１，０）＋９０（１，１，－１）／３3/2
＝（９０（１＋３-3/2），９０（１＋３-3/2），－９０・３-3/2））[N/C]([V/m])
⑥ ③と同様に行えばよい。点２の電荷の受ける力Ｆ2は、
Ｆ2＝Ｑ1Ｑ2/（４πε0｜Ｒ2－Ｒ1｜2）・ （Ｒ2－Ｒ1）／｜Ｒ2－Ｒ1｜＋ Ｑ2Ｑ3/（４πε0｜Ｒ2－Ｒ3｜2）・ （Ｒ2－Ｒ3）／｜Ｒ2－Ｒ3｜
座標を代入すれば、
Ｒ2－Ｒ1＝（－１，１，０）
Ｒ2－Ｒ3＝（０，１，－１）
この表現と Ｑ1＝Ｑ2＝－Ｑ3＝１×１０-8（Ｃ） を考慮して、数値に直せば、
１/４πε0＝９×１０9として、
Ｆ2＝９×１０-7／２・（－１，１，０）／２1/2
－９×１０-7／２・（０，１，－１）／２1/2
＝９×１０-7／２3/2・（－１，０，１）
＝（－９×１０-7／２3/2，０，９×１０-7／２3/2） (N)
＝９／２×１０-7・（－１，０，１）／２1/2 (N)
⑦ １１３０（Ｎｍ2／Ｃ）あたり、（真空中の１×１０-8(c)の電荷あたり、）7本の電気力線で表せば、
Ⅱ 太さの無視できる無限に長い直線状に均一に線密度λ（Ｃ／ｍ）で電荷が分布している。以下の問いに答えよ。
① 任意の点において、電界はどちらを向いているか。
② 座標を適当に設定して、任意の点における電界を求めよ。
解答例
要点のコーナー 電荷が連続的に分布しているときの電界の計算例 線積分 を参考にする。
Ⅲ 厚さの無視できる無限に広い板１，２が間隔ｄ（ｍ）で平行にある。ただし、板１には均一に面密度σ1（Ｃ／ｍ2）の電荷が、
板２には均一に面密度σ2（Ｃ／ｍ2）の電荷がある。また、板２から板１に向かって垂直にｚ軸を設定し、ｚ軸の原点は板２にあるとする。ほかに必要な座標および座標軸は適当に設定して、以下の問いに答えよ。
① 板１に分布する電荷による任意の点における電界の大きさと方向を求めよ。
② 板２に分布する電荷による任意の点における電界を求めよ。
③ 板１，板２の両方に分布する電荷による任意の点における電界を求めよ。
④ ｄ＝１(mm)、σ1＝σ2＝１×１０-8（Ｃ／ｍ2）のとき、ｚ座標の関数として①～③の電界のｚ軸成分をグラフ化せよ。
⑤ ｄ＝１(mm)、σ1＝－σ2＝１×１０-8（Ｃ／ｍ2）のとき、ｚ座標の関数として①～③の電界のｚ軸成分をグラフ化せよ。
解答例
① 要点のコーナー 電荷が連続的に分布しているときの電界の計算例 面積分 を参考にする。
電界は、ｚ軸に平行で、ｚ座標のみで与えられる。
板１は、ｚ＝ｄにあるので、電界を知りたい点の座標をＺとすれば、ｚ軸の正の方向に電界をとれば、電界Ｅ(Ｚ）は、
Ｅ（Ｚ）＝σ1／２ε0 （Ｚ＞ｄ）
Ｅ（Ｚ）＝－σ1／２ε0 （Ｚ＜ｄ）
一つの式でまとめれば、 Ｅ（Ｚ）＝σ1／２ε0・（Ｚ－ｄ）／|Ｚ－ｄ|
② ①と同様に考えて、
Ｅ（Ｚ）＝σ2／２ε0 （Ｚ＞０）
Ｅ（Ｚ）＝－σ2／２ε0 （Ｚ＜０）
一つの式でまとめれば、 Ｅ（Ｚ）＝σ2／２ε0・Ｚ／|Ｚ|
③ ２枚の板の電荷分布を別々に考えたのが、①,②であった。
’電界はすべての’点’電荷の作る電界を足せば得られる。’ということを考慮すれば、①と②で得られた電界を加えればいいと言うことが分かる。よって、電界Ｅ（Ｚ）は、
Ｅ（Ｚ）＝σ1／２ε0・（Ｚ－ｄ）／|Ｚ－ｄ|＋σ2／２ε0・Ｚ／|Ｚ|
場合分けして表せば、
Ｅ（Ｚ）＝（σ1＋σ2）／２ε0 （Ｚ＞ｄ）
Ｅ（Ｚ）＝（－σ1＋σ2）／２ε0 （ｄ＞Ｚ＞０）
Ｅ（Ｚ）＝－（σ1＋σ2）／２ε0 （０＞Ｚ）
④ ③にσ1＝σ2＝１×１０-8（Ｃ／ｍ2）を代入すれば、
Ｚ＞１(mm) Ｅ＝１１３０ [N/C]([V/m])
１(mm)＞Ｚ＞０(mm) Ｅ（Ｚ）＝０ [N/C]([V/m])
Ｚ＜０(mm) Ｅ＝－１１３０ [N/C]([V/m])
右の青い線が電界を表す。
⑤ ③にσ1＝－σ2＝１×１０-8（Ｃ／ｍ2）を代入すれば、
Ｚ＞１(mm) Ｅ＝０ [N/C]([V/m])
１(mm)＞Ｚ＞０(mm) Ｅ（Ｚ）＝－１１３０ [N/C]([V/m])
Ｚ＜０(mm) Ｅ＝０ [N/C]([V/m])
右の赤い線が電界を表す。