Ⅰ 厚さＴ[ｍ]の無限に広がる比誘電率εrの誘電体平板があり、この平板の外側に一様な電界Ｅを印加した。 この電界の平板に垂直な成分をＥ⊥、平行な成分をＥ∥として、以下の問いに答えよ。
① 誘電体内部の電界を平板に垂直な成分と平行な成分に分けて求めよ。
② ①を参考にして分極により誘電体表面に現れる電荷の面密度を求めよ。
③ 誘電体内部の電束密度を平板に垂直な成分と平行な成分に分けて求めよ。
④ 誘電体平板表面の片側に面密度σ[C/m2]の真電荷（孤立した電荷）をもう一方の側の表面に面密度－σ[C/m2]の真電荷を与えた。
誘電体内部の電束密度と電界を平板に垂直な成分と平行な成分に分けて求めよ。
⑤ ①および④において、誘電体平面の表面両側の間の電位差はどれだけか。
⑥ 誘電体平板の厚さＴ＝２〔mm〕、比誘電率εｒ＝２、与えた真電荷σ＝１〔Ｃ／ｍ２〕とする。
④において、誘電体平面の表面両側の間の電位差はどれだけか。
解答例
① 誘電率の異なる媒質界面では、面内成分の電界が等しく、面に垂直成分の電束密度が等しい。
誘電体内の電界の面に平行な成分は、外部の電界と等しいので、
Ｅ∥ 〔Ｖ／ｍ〕
面に垂直な電界成分は、外部の電束密度と等しいので、
ε0Ｅ⊥／ε0εr＝Ｅ⊥／εr〔Ｖ／ｍ〕
② 分極により表面に誘起される面電荷密度σsは、分極の面に垂直な成分の大きさと等しい。
Ｄ⊥＝ε0Ｅ⊥／εr＋Ｐ⊥であるから、誘電体平面に向かう方向を正として、
σs＝－Ｐ⊥＝－（Ｄ⊥－ε0Ｅ⊥／εr）
＝－ε0（１－１／εr）Ｅ⊥ [C/m2]
③ ①を参考にして、平行な成分は、ε0εrＥ∥[C/m2]、 垂直な成分は、ε0Ｅ⊥[C/m2]
④ 真電荷の面密度だけ、電束密度の垂直成分が変化するので、
電束密度は、並行成分： ε0εrＥ∥[C/m2]、
垂直成分 ： ε0Ｅ⊥＋σ[C/m2]
電界は、並行成分： Ｅ∥〔Ｖ／ｍ〕、 垂直成分 ： Ｅ⊥／εr＋σ／ε0εr〔Ｖ／ｍ〕
⑤ 内部の電界は一様であるから、電界の垂直成分に厚さＴをかければ得られる。
①について、Ｅ⊥Ｔ／εr 〔Ｖ〕
④について、Ｅ⊥Ｔ／εr＋σＴ／ε0εr〔Ｖ〕
⑥ 上の表現に値を代入して、Ｅ⊥Ｔ／εr＋σＴ／ε0εr
＝Ｅ⊥Ｔ／εr＋１．１×１０８〔Ｖ〕
Ⅱ 半径Ｒ[m]の円柱状導体（内側導体）と筒の肉厚ｔ[m]の内半径Ｒ＋Ｔ[m]の円筒状導体（外側導体）を同軸状に配置して同軸線とした。 内側導体と外側導体の間は、比誘電率εrの媒質で満たされている。以下の問いに答えよ。
① 内側導体に、単位長さあたりλ[C/m]の電荷を与えた。任意の点における電束密度を求めよ。座標は適当に設定せよ。
② ①において、外側円筒導体の外側表面を基準電位として、任意の点における電界と電位を求めよ。座標は適当に設定せよ。
③ ①，②において、内側導体（円柱状導体）の中心軸からの距離をｒ[m]として、電束密度、電界、電位をグラフで表せ。
④ ①において、外側導体の外側表面を接地した。内側導体と外側導体に分布する電荷はどの様になるか。
⑤ ③において、内側導体と外側導体の間の単位長さ当たりの静電容量を求めよ。
⑥ ⑤において、Ｒ＝１[mm]、Ｔ＝２[mm]、ｔ＝０.１[mm]、εr＝２のとき、単位長さ当たりの静電容量を求めよ。
解答例
① 円柱導体の中心軸からの距離をｒ[m]とする。電束密度Ｄにガウスの定理を適用する。
（電束密度は、円柱の中心軸から放射状にあるので）、円柱の中心から外に向かう方向の電束密度の大きさを
Ｄ[C/m2]とすれば、円柱の中心を中心軸とする高さＬ[m]、半径ｒ[m]の円柱閉曲面を考えて、
ガウスの定理の右辺は、 2πｒＤ となる。
導体内部では電荷は存在しない ので、"λ[C/m]の電荷は円柱の表面に均一に分布する"、
導体内部では、電界も電束密度も０であるので、"外側円筒の内側表面には、－λ[C/m]の電荷が均一に分布する"、
外側円柱の外側表面には、λ[C/m]の電荷が均一に分布する" ことになる。よって、
2πｒＬＤ＝０ （ｒ＜Ｒ、Ｒ＋Ｔ＜ｒ＜Ｒ＋Ｔ＋ｔ）、λＬ （Ｒ＜ｒ＜Ｒ＋Ｔ、Ｒ＋Ｔ＋ｔ＜ｒ）
Ｄ＝０ [C/m2] （ｒ＜Ｒ、Ｒ＋Ｔ＜ｒ＜Ｒ＋Ｔ＋ｔ）
Ｄ＝λ／2πｒ [C/m2] （Ｒ＜ｒ＜Ｒ＋Ｔ、Ｒ＋Ｔ＋ｔ＜ｒ）
②誘電率は、Ｒ＋Ｔ＜ｒ＜Ｒ＋Ｔ＋ｔでε0εr、Ｒ＋Ｔ＋ｔ＜ｒでε0であるから、
Ｅ＝０ [V/m] （ｒ＜Ｒ、Ｒ＋Ｔ＜ｒ＜Ｒ＋Ｔ＋ｔ）
Ｅ＝λ／2πε0εrｒ [V/m]（Ｒ＜ｒ＜Ｒ＋Ｔ）
Ｅ＝λ／2πε0ｒ [V/m]（Ｒ＋Ｔ＋ｔ＜ｒ）
電界をｒ＝Ｒ＋Ｔ＋ｔを基準電位にして積分すれば、電位φが得られる。円柱導体の中心軸からの距離をｄ[m]として、電位φ（ｄ）＝∫－Ｅｄｒ（ｒ；Ｒ＋Ｔ～ｄ）は、
Ｒ＋Ｔ＜ｄ＜Ｒ＋Ｔ＋ｔ のとき
φ＝０ [V]
Ｒ＋Ｔ＋ｔ＜ｄ のとき
φ＝φ（Ｒ＋Ｔ＋ｔ）＋∫－Ｅｄｒ（ｒ；Ｒ＋Ｔ＋ｔ～ｄ）＝∫－λ／2πε0ｒｄｒ（ｒ；Ｒ＋Ｔ＋ｔ～ｄ）
＝λ／2πε0・ｌｏｇ（（Ｒ＋Ｔ＋ｔ）／ｄ） [V]
Ｒ＜ｄ＜Ｒ＋Ｔ のとき
φ＝φ（Ｒ＋Ｔ）＋∫－Ｅｄｒ（ｒ；Ｒ＋Ｔ～ｄ）＝∫－λ／2πε0εrｒｄｒ（ｒ；Ｒ＋Ｔ～ｄ）
＝λ／2πε0εr・ｌｏｇ（（Ｒ＋Ｔ）／ｄ） [V]
ｄ＜Ｒ のとき
φ＝φ（Ｒ）＝λ／2πε0εr・ｌｏｇ（（Ｒ＋Ｔ）／Ｒ） [V]
③
λ＞０のときのグラフを示す。
青色は電束密度、赤色は電界、黒は電位を表す。
④ 内側導体の表面に、λ／2πＲ〔Ｃ／ｍ２〕なる電荷が分布する。
外側導体の内側表面には、内側導体に分布する電荷により外側導体内部に及ぼす電界をうち消すだけの電荷が分布している。この電荷は、
－λ／2π（Ｒ＋Ｔ）〔Ｃ／ｍ２〕で与えられる。
外側導体の外側表面には、外側導体の内側表面に分布する電荷と等量の逆符号の電荷（λ／2π（Ｒ＋Ｔ＋ｔ）〔Ｃ／ｍ２〕）が分布していたが、
外側導体の外側表面を接地したので、（外側導体の電位は、０〔Ｖ〕無限の遠方でも電位は０〔Ｖ〕であるから、）外側導体の外側の電界が'０〔Ｖ／ｍ〕'になるように、外側導体の外側表面に分布していた電荷は、'０〔Ｃ／ｍ２〕'になる。
⑤ ③において、内側導体（ｒ＝Ｒ）と外側導体（ｒ＝Ｒ＋Ｔ）の間の電位差 Ｖ は、λ／2πε0εr・ｌｏｇ（（Ｒ＋Ｔ）／Ｒ） [V]であるから、
Ｖ＝λ／2πε0εr・ｌｏｇ（（Ｒ＋Ｔ）／Ｒ）
単位長さ当たりの静電容量ＣLは、
ＣL＝λ／Ｖ＝2πε0εr／ｌｏｇ（（Ｒ＋Ｔ）／Ｒ） [F/m]
⑥ 値を代入して、ＣL≒１．０１-10[F/m]≒１００[pF/m]
Ⅲ 厚さの無視できる面積Ｓ[m2]の導体板１，２が間隔ｄ[m]で平行にある。（Ｓ≫ｄ2とする） 導体板１にはＱ[C]の電荷が、導体板２には－Ｑ[C]の電荷がある。また、導体板２から導体板１に向かって垂直にｚ軸を設定し、ｚ軸の原点は導体板２にあるとする。 ほかに必要な座標および座標軸は適当に設定して、以下の問いに答えよ。
① 任意の点における電界の大きさと方向を求めよ。
② 導体板２に対する導体板１の電位を求めよ。
③ 導体板１と導体板２の間の静電容量を求めよ。
④ 導体板１と導体板２の間に働く力を求めよ。
⑤ ｄ＝１[mm]、Ｓ＝１[ｍ2]，導体板１と導体板２の電位差２[V]の時、導体板間の静電容量と、導体板間に働く力を求めよ。
⑥ ⑤において、全体を比誘電率εrの媒質で満たした。導体板間の静電容量と、導体板間に働く力はどうなるか。
⑦ ⑥において、比誘電率εr＝２とする。導体板間に蓄えられた単位体積当たりの静電エネルギーを求めよ。
解答例
① 平面においては、電界は平面に垂直な方向を向く。平面の両側に等しく電気力線はのびてゆくので、
平面から垂直に外に向かう方向の電界の大きさをＥ1(2)[V/m]として、上下面の面積ｓの円柱閉曲面で、電界にガウスの定理を適用すると、
導体板１に対して、２Ｅ1ｓ＝Ｑｓ／Ｓε0 → Ｅ1＝Ｑ／２Ｓε0
導体板２に対して、２Ｅ2ｓ＝－Ｑｓ／Ｓε0 → Ｅ2＝－Ｑ／２Ｓε0
２つの導体板による電界を合成すれば、電界は、導体板間のみに存在し、導体板間の外側には存在しない。
ゆえに、求める電界は、ｚ軸に平行で、ｚ軸の正の方向の電界を、Ｅ（ｚ）とおいて、
Ｅ（ｚ）＝０[V/m] （ｚ＜０、ｄ＜ｚ）
Ｅ（ｚ）＝－Ｑ／Ｓε0[V/m] （０＜ｚ＜ｄ）
② ①で得た電界をｚ：０～ｄまで、積分すれば得られる。電位をＶ[V]として、
Ｖ＝∫－Ｅｄｚ（ｚ：０～ｄ）＝∫Ｑ／Ｓε0ｄｚ（ｚ：０～ｄ）＝Ｑｄ／Ｓε0 [V]
③ ②より、静電容量Ｃ[F]は、
Ｃ＝Ｑ／Ｖ＝Ｓε0／ｄ [F]
④ 導体板間に蓄えられるエネルギーＷ[J]は、Ｑ2／２Ｃ であるから、
力Ｆ[N]は、板の間隔が開く方向を正として、Ｆ＝－∂Ｗ／∂ｄである。Ｑが一定であるので、
Ｆ＝－Ｑ2／２・∂（１／Ｃ）／∂ｄ＝Ｑ2／２Ｃ2・∂Ｃ／∂ｄ
＝Ｑ2／２Ｃ2・（－Ｓε0／ｄ2）＝－Ｑ2／２Ｓε0 [N]
Ｑ2／２Ｓε0 [N] の力が、板の間隔が狭くなる方向（引力）に働く。
単位面積あたりの力ｆ[N/m2]は、ｆ＝Ｆ／Ｓ＝－Ｑ2／２Ｓ2ε0
＝－１／２・ε0Ｅ2 （Ｅは、導体板間の電界）となり、空間に蓄えられる単位体積あたりのエネルギーと大きさは一致する（符号は逆）。
⑤ ③と④を参考にして、
静電容量 Ｃ＝Ｓε0／ｄ ＝８．８５４×１０-12／１０-3＝８．８５４×１０-9 [F]
力（引力）Ｆ＝Ｑ2／２Ｓε0 ＝（８．８５４×１０-9×２）2／（２×８．８５４×１０-12）
＝１．７７×１０-5 [N]
⑥電界が、１／εr倍になるので、導体板間の電位差も１／εr倍になる。静電容量は、電位差に反比例するので、εr倍になる。
④での力の導出を考えれば、比誘電率εrの媒質中では、静電容量の変化を受けて、ε0をε0εrに
置き換えればいいことがわかる。よって、力も１／εr倍になる。
⑦電界は、２０００〔Ｖ／ｍ〕であるから、電束密度は、２０００ε0εｒ＝３．５４×１０－８〔Ｃ／ｍ２〕
単位体積当たりのエネルギーはＥＤ／２で与えられるので、
３．５４×１０－５〔Ｊ／ｍ３〕