ある関数にグラディエントを演算し、さらにダイバージェントを演算する演算子をラプラシアンという。
記号的には、div grad ＝ ∇・∇ ＝ ∇2 ＝ △ で、いずれかで表現される。
さて、ラプラシアンは、物理現象を数学的に記述する様々な場面で現れる。
たとえば、電位と電荷密度の関係で説明したとおり、ポアソン方程式に現れる。
ほかにも、波を記述する方程式（シュレディンガー方程式（量子力学）、電磁波の伝搬（電気磁気学））などに現れる。
座標変数で、ラプラシアンを表す。
ｘ，ｙ，ｚ座標では・・・
| ∇＝ | ｅｘ | ∂ ∂ｘ |
＋ｅｙ | ∂ ∂ｙ |
＋ｅｚ | ∂ ∂ｚ |
| △ ＝ ∇・∇ ＝ （ | ｅｘ | ∂ ∂ｘ |
＋ｅｙ | ∂ ∂ｙ |
＋ｅｚ | ∂ ∂ｚ | ）・（ | ｅｘ | ∂ ∂ｘ |
＋ｅｙ | ∂ ∂ｙ |
＋ｅｚ | ∂ ∂ｚ | ） |
| ＝ | ∂２ ∂ｘ２ |
＋ | ∂２ ∂ｙ２ |
＋ | ∂２ ∂ｚ２ |
円柱座標では・・・
ｘ，ｙ，ｚ座標での変数とベクトルを変換して計算する。微分における変数変換を参考にすれば、
| ∇＝ | ｅｒ | ∂ ∂ｒ |
＋ｅφ | ∂ ｒ∂φ |
＋ｅｚ | ∂ ∂ｚ |
| △ ＝ ∇・∇ ＝ （ | ｅｒ | ∂ ∂ｒ |
＋ｅφ | ∂ ｒ∂φ |
＋ｅｚ | ∂ ∂ｚ | ）・（ | ｅｒ | ∂ ∂ｒ |
＋ｅφ | ∂ ｒ∂φ |
＋ｅｚ | ∂ ∂ｚ | ） |
| ＝ | ∂２ ∂ｒ２ |
＋ | ∂ ｒ∂ｒ |
＋ | ∂２ ｒ２∂φ２ |
＋ | ∂２ ∂ｚ２ |
| ＝ | １ ｒ | ∂ ∂ｒ |
（ｒ | ∂ ∂ｒ | ） | ＋ | ∂２ ｒ２∂φ２ |
＋ | ∂２ ∂ｚ２ |
極座標では・・・
ｘ，ｙ，ｚ座標での変数とベクトルを変換して計算する。微分における変数変換を参考にして、
| ∇＝ | ｅｒ | ∂ ∂ｒ |
＋ｅθ | ∂ ｒ∂θ |
＋ｅφ | ∂ ｒsinθ∂φ |
| △ ＝ ∇・∇ ＝ （ | ｅｒ | ∂ ∂ｒ |
＋ｅθ | ∂ ｒ∂θ |
＋ｅφ | ∂ ｒsinθ∂φ |
）・（ | ｅｒ | ∂ ∂ｒ |
＋ｅθ | ∂ ｒ∂θ |
＋ｅφ | ∂ ｒsinθ∂φ |
） |
| ＝ | ∂２ ∂ｒ２ |
＋ | ∂ ｒ∂ｒ |
＋ | ∂ ｒ∂ｒ |
＋ | ∂２ ｒ２∂θ２ |
＋ | １ ｒ２ | cosθ∂ sinθ∂θ |
＋ | ∂２ ｒ２sin２θ∂φ２ |
| ＝ | １ ｒ２ | ∂ ∂ｒ |
（ｒ２ | ∂ ∂ｒ |
）＋ | １ ｒ２sinθ | ∂ ∂θ |
（sinθ | ∂ ∂θ | ） | ＋ | ∂２ ｒ２sin２θ∂φ２ |
一見複雑ですが、極座標表現は（量子力学を用いて）水素原子に束縛された電子の固有エネルギ−・波動関数を求めるときに役に立ちます。