一変数の関数における引き数の微小変化と関数の変化との関係
関数 ｆ（ｘ）において、ｘ＝ｘ0からｘ＝ｘ0+Δｘ、へと変数が変化したときのｆ（ｘ）の変化量Δｆは、
Δｆ＝ｆ（ｘ0+Δｘ）－ｆ（ｘ0）
この式で、（ｘ＝ｘ0におけるｆ（ｘ）のテーラー展開の一次の項迄を考えれば、（ｘ－ｘ0＝Δｘとおいて、） 次のようにかける。
＝ｆ（ｘ0）＋ｆ(1)（ｘ0）Δｘ－ｆ（ｘ0）
＝ｆ(1)（ｘ0）Δｘ
関数の一次微分のｘ＝ｘ0での値にΔｘをかければ、関数の変化量Δｆは得られる。（一次の近似）
（微分が、引き数に対する関数の変化率を与えるので、微分に引き数の変化量をかければ関数の変化量になるのはあたりまえのことである。）
変化量を限りなく小さくすれば、Δ→dに変えて、
dｆ＝ｆ(1)（ｘ0）dｘ
多変数の関数における引き数の微小変化と関数の変化との関係
ｘ，ｙ，ｚを変数とする関数ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）を考える。ただし、変数ｘ，ｙ，ｚは互いに独立であるとする。
ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）において、（ｘ，ｙ，ｚ）＝（ｘ0,ｙ0，ｚ0）から（ｘ，ｙ，ｚ）＝（ｘ0+Δｘ，ｙ0+Δｙ，ｚ0+Δｚ） へと変数が変化したときのｆ（ｘ，ｙ，ｚ）の変化量Δｆは、
Δｆ＝ｆ（ｘ0+Δｘ，ｙ0+Δｙ，ｚ0+Δｚ）－ｆ（ｘ0，ｙ0，ｚ0）
a) ＝ｆ（ｘ0+Δｘ，ｙ0+Δｙ，ｚ0+Δｚ）－ｆ（ｘ0，ｙ0+Δｙ，ｚ0+Δｚ）
b) ＋ｆ（ｘ0，ｙ0+Δｙ，ｚ0+Δｚ）－ｆ（ｘ0，ｙ0，ｚ0+Δｚ）
c) ＋ｆ（ｘ0，ｙ0，ｚ0+Δｚ）－ｆ（ｘ0，ｙ0，ｚ0）
とa)、b)、c)項の和として表される。ここで、
a)項は、（ｘ0，ｙ0+Δｙ，ｚ0+Δｚ）において変数ｘだけがΔｘ変化したときの変化量
b)項は、（ｘ0，ｙ0，ｚ0+Δｚ）において変数ｙだけがΔｙ変化したときの変化量
c)項は、（ｘ0，ｙ0，ｚ0）において変数ｚだけがΔｚ変化したときの変化量
をあらわす。
a)項は、変数ｘ、b)項は変数ｙ、c)項は変数ｚだけが変数であるとみなして、一次の項まで展開すれば、
a)項： ∂ｆ（ｘ0，ｙ0+Δｙ，ｚ0+Δｚ）/∂ｘ*Δｘ
b)項： ∂ｆ（ｘ0，ｙ0，ｚ0+Δｚ）/∂ｙ*Δｙ
c)項： ∂ｆ（ｘ0，ｙ0，ｚ0）/∂ｚ*Δｚ
ここで∂ｆ（ｘ0，ｙ0，ｚ0）/∂ｚは、ｘ，ｙ，ｚ三変数からなる関数ｆのｚだけを変化させたときの 関数ｆのｚに対する変化率の（ｘ0，ｙ0，ｚ0）における値をあらわす。
一般に、∂ｆ/∂ｘは、ｘ以外の独立変数を定数とみなしてｘに関して微分すれば得られる。（∂：ラウンド、ディーと読む）
多変数関数において、そのうちの一つの変数についてだけ（他の変数を定数とみなして）微分することを偏微分という。
今、変化Δｘ、Δｙ、Δｚが限りなく'0'に近づくとｙ0+Δｙ→ｙ0，ｚ0+Δｚ→ｚ0,Δ→dであるから、
Δｆ→dｆ＝∂ｆ（ｘ0，ｙ0，ｚ0）/∂ｘ*dｘ
+∂ｆ（ｘ0，ｙ0，ｚ0）/∂ｙ*dｙ
+∂ｆ（ｘ0，ｙ0，ｚ0）/∂ｚ*dｚ
任意の点における変化dｆは、
dｆ＝∂ｆ/∂ｘ*dｘ+∂ｆ/∂ｙ*dｙ+∂ｆ/∂ｚ*dｚ
これが、全微分の表現である。（独立変数が増えれば、項が増えることになる。）
各変数の変化に対して関数がどう変化するかを表す時、各変数に対して変化の度合を表すのが偏微分である。
偏微分の各要素を成分とするベクトル（∂ｆ/∂ｘ、∂ｆ/∂ｙ、∂ｆ/∂ｚ）（＝gradｆと表記する（'グラディエント'という））と
変数の微小変位を成分とするベクトル（dｘ,dｙ,dｚ）(＝dｒであらわす)を用いれば、
dｆ＝gradｆ・dｒ （gradｆとdｒの内積）と表せる。（d→Δとすれば、Δｆ＝gradｆ・Δｒ）
・・・(独立変数がｎ個であれば、gradｆとdｒは、それぞれｎ次元（ｎ成分）のベクトルになる。）
ここで、先程の式を考える。
Δｆ＝ｆ（ｘ0+Δｘ，ｙ0+Δｙ，ｚ0+Δｚ）－ｆ（ｘ0，ｙ0，ｚ0）において、ｒ0=(ｘ0，ｙ0，ｚ0)，Δｒ=(Δｘ,Δｙ,Δｚ)とおけば、
ｆ（ｒ0+Δｒ）=ｆ（ｒ0）+Δｆ=ｆ（ｒ0）+gradｆ・Δｒ
これは、位置変数で表されるスカラ関数の点ｒ0における位置の微小変化Δｒに対する一次の近似をあらわす。
例えば、ｘに関する全微分は、両辺をdｘで割って
dｆ/dｘ＝∂ｆ/∂ｘ+∂ｆ/∂ｙ*dｙ/dｘ+∂ｆ/∂ｚ*dｚ/dｘ
となる。もし、変数ｘ，ｙ，ｚにある関係があれば、二項目、三項目もｘに関する変化に寄与する。 （ｘ，ｙ，ｚに互いに関係がなければ、ｘに関する全微分はｘに関する偏微分だけになる。）
例えば、ｘ，ｙの二変数の関数ｈが山の形状をあらわすとすれば、ｘ，ｙが地図上の位置をｈがその点の高さをあらわす。 この時には、⊿ｘが東へどれだけ、⊿ｙが北へどれだけという距離をあらわす。ｘ（ｙ）に関する偏微分は東（北）方向の山の傾斜を表す。 それぞれの方向への傾き（偏微分）に、それぞれの方向への水平移動距離をかけてすべてたせば、全体としてどれだけ山へ登ったかが得られる。
これが、 dｈ＝∂ｈ/∂ｘ*dｘ+∂ｈ/∂ｙ*dｙ の意味である。
この表現には、様々な応用がある。
山に登る際に登山ルートがある場合には（ｘ，ｙ）は互いに独立ではないので（例えば、Ｒ（ｘ，ｙ）＝0が登山ルートを表す）、 この表現のdｙ(dｘ)は変形されてdｘ(dｙ)の関数で与えられ、ｈのｘ(ｙ）に関する全微分が得られる。
dｈ＝∂ｈ/∂ｘ*dｘ+∂ｈ/∂ｙ*dｙ において dｈ＝0(高度が変わらない条件)としてdｘとdｙの関係を求められる。 この式から得られるｘ，ｙの関係はその点を含む等高線そのものを表す。（dｘとdｙの関係式が、高度を変えずに移動する方向すなわち、等高線の方向を示す。）
また、ベクトル(∂ｈ/∂ｘ,∂ｈ/∂ｙ)は、山のある点において、最も傾斜のきつい方向とその大きさを表す。