位置変数（ｘ，ｙ，ｚ）を引き数にする関数ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）を考える。
関数ｆに対してｘ，ｙ，ｚに関する偏微分をそれぞれの方向の成分とするベクトル（∂ｆ／∂ｘ，∂ｆ／∂ｙ，∂ｆ／∂ｚ）（＝gradｆとあらわす）を考える。 ある点ｒ（＝（ｘ，ｙ，ｚ））とその点からの微小変位⊿ｒ（＝（⊿ｘ，⊿ｙ，⊿ｚ））が、gradｆや変位⊿ｆとどのような関係になるかについて考える。
gradｆと⊿ｒとの内積をとると
gradｆ・⊿ｒ＝∂ｆ／∂ｘ*⊿ｘ＋∂ｆ／∂ｙ*⊿ｙ＋∂ｆ／∂ｚ*⊿ｚ （＝｜gradｆ｜｜⊿ｒ|cosθ；θは、gradｆと⊿ｒのなす角）
となり、これはｆの変位⊿ｆの一般的な表式を与える。
（⊿ｆ＝gradｆ・⊿ｒ より、ｆの微小変位⊿ｆは、gradｆと微小変位⊿ｒとの内積とみなせる）
ここで、｜⊿ｒ｜＝一定とすれば、⊿ｆの最大値は、gradｆと⊿ｒが同一方向の時である。 ⊿ｒが、gradｆの方向へ移動した（｜⊿ｒ｜が増加する）時が⊿ｆの最大であることから、ベクトルgradｆの方向は、ｒにおける最大増加を与える方向であるといえる。 この時は、⊿ｆ＝｜gradｆ｜｜⊿ｒ｜であるので、gradｆは、最大増加の方向とその増加率（傾き）を与えることが分かる。－gradｆは、同様に考えれば、最も減少する方向とその大きさを与えることが分かる。
例えば、⊿ｙ＝⊿ｚ＝０（⊿ｒをｘ軸の方向に変化させる）では、⊿ｆ＝∂ｆ／∂ｘ*⊿ｘで与えられるので、gradｆの各成分はそれぞれの方向へｆの傾きを与えることが分かる。
d ｆ＝０として得られる ∂ｆ／∂ｘ*d ｘ＋∂ｆ／∂ｙ*d ｙ＋∂ｆ／∂ｚ*d ｚ＝０ をｘ，ｙ，ｚに関する微分方程式とみなせば、
この式を解いて得られる式は、ｘ，ｙ，ｚに関する一つの拘束条件を与える。
ところでこの式は、d ｆ＝０（ｆの値が変化しない条件）であることから、積分定数を決めるある点ｒ０におけるｆ（ｒ０）と値の等しい点の集合（等ｆ面）を与える。もちろんこの式は、ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝定数 の等ｆ面を表す式と一致する。
∂ｆ／∂ｘ*⊿ｘ＋∂ｆ／∂ｙ*⊿ｙ＋∂ｆ／∂ｚ*⊿ｚ＝０ をみたす（⊿ｘ，⊿ｙ，⊿ｚ）（＝⊿ｒ）の方向はgradｆとは直交する。⊿ｒは、ｒにおいてgradｆと直交する方向の点（ベクトル）の集合を与える。
つまり、ｒにおいてgradｆを法線とする面（等ｆ面の接平面）を与える。
この平面に含まれるいかなるベクトルもｒにおいてgradｆと直交する。
gradｆの方向は、その点における等ｆ面の接平面の法線ベクトルの方向を与える。（gradｆは、その点において等ｆ面に垂直である。）
gradｆ＝（∂ｆ／∂ｘ，∂ｆ／∂ｙ，∂ｆ／∂ｚ）において ｆ はすべての成分でそれぞれの変数で偏微分されるので、
ベクトルの演算Ａａ＝（Ａｘａ，Ａｙａ，Ａｚａ）と同様の規則で書けば、
gradｆ＝（∂ｆ／∂ｘ，∂ｆ／∂ｙ，∂ｆ／∂ｚ）＝（∂／∂ｘ，∂／∂ｙ，∂／∂ｚ）ｆ＝∇ｆ（∇は'ナブラ'という）となる。
ここで、∇＝（∂／∂ｘ，∂／∂ｙ，∂／∂ｚ）は、それぞれの成分における微分を記述する演算子(微分演算子）のベクトルである。
また、gradｆを（ｒを位置変数のベクトルとして）∂ｆ／∂ｒ （∇を∂／∂ｒ）と表すこともある。
単位ベクトルｅｘ，ｅｙ，ｅｚを使って∇をあらわせば、
円柱座標では、角度φの変化⊿φに対する位置の変化はｒ⊿φであるから、 極座標では、角度θの変化⊿θに対する位置の変化はｒ⊿θ、角度φの変化⊿φに対する位置の変化は
| ＸＹＺ座標では、 | ∇＝ | （ | ∂ ∂ｘ |
， | ∂ ∂ｙ |
， | ∂ ∂ｚ | ） | |
| 円柱座標では、 | ∇＝ | （ | ∂ ∂ｒ |
， | ∂ ｒ∂φ |
， | ∂ ∂ｚ | ） | |
| 極座標では、 | ∇＝ | （ | ∂ ∂ｒ |
， | ∂ ｒ∂θ |
， | ∂ ｒsinθ∂φ | ） | |
ここで、よく使う位置変数の傾き（gradient）を求めておく。
Ｒ＝｜ｒ-ｒ０｜、（ここで、ｒ=（ｘ，ｙ，ｚ）、ｒ0=（ｘ0，ｙ0，ｚ0）である。)
∇Ｒ=（∂((ｘ-ｘ0)2+(ｙ-ｙ0)2+(ｚ-ｚ0)2)1/2/∂ｘ， ∂((ｘ-ｘ0)2+(ｙ-ｙ0)2+(ｚ-ｚ0)2)1/2/∂ｙ， ∂((ｘ-ｘ0)2+(ｙ-ｙ0)2+(ｚ-ｚ0)2)1/2/∂ｚ）
=（(ｘ-ｘ0)/(ｘ-ｘ0)2+(ｙ-ｙ0)2+(ｚ-ｚ0)2)1/2， (ｙ-ｙ0)/(ｘ-ｘ0)2+(ｙ-ｙ0)2+(ｚ-ｚ0)2)1/2， (ｚ-ｚ0)/(ｘ-ｘ0)2+(ｙ-ｙ0)2+(ｚ-ｚ0)2)1/2）
∇Ｒ=(ｒ-ｒ0)/|ｒ-ｒ0|
となる。これは、大きさが'1’のベクトルで、方向は、ｒ-ｒ0である。（点ｒ0から外に向かうベクトルをあらわす。）
よって、点ｒと点ｒ0の間の距離を表す関数の点ｒに対する'傾き'は、 点ｒ0から点ｒへ向かう単位ベクトルを与えることが分かる。
（距離が最も変化する方向は、点ｒ0から外に向かう方向であるので、'傾き'が点ｒ0から点ｒへ向かう方向になるのはあたりまえのことである。 ある距離の移動と距離の増加は同じであるから傾き（増え方）が'1'であるのもあたりまえである。）
∇(1/Ｒ)=（∂((ｘ-ｘ0)2+(ｙ-ｙ0)2+(ｚ-ｚ0)2)-1/2/∂ｘ， ∂((ｘ-ｘ0)2+(ｙ-ｙ0)2+(ｚ-ｚ0)2)-1/2/∂ｙ， ∂((ｘ-ｘ0)2+(ｙ-ｙ0)2+(ｚ-ｚ0)2)-1/2/∂ｚ）
=（-(ｘ-ｘ0)/(ｘ-ｘ0)2+(ｙ-ｙ0)2+(ｚ-ｚ0)2)3/2， -(ｙ-ｙ0)/(ｘ-ｘ0)2+(ｙ-ｙ0)2+(ｚ-ｚ0)2)3/2， -(ｚ-ｚ0)/(ｘ-ｘ0)2+(ｙ-ｙ0)2+(ｚ-ｚ0)2)3/2）
=-(ｒ-ｒ0)/|ｒ-ｒ0|3
∇(1/Ｒ)=-1/|ｒ-ｒ0|2*(ｒ-ｒ0)/|ｒ-ｒ0|
となる。これは、大きさが点ｒと点ｒ0の距離の二乗に反比例する、方向が'-(ｒ-ｒ0)'のベクトルである。 （点ｒ0へ向かうベクトルをあらわす。）
この結果は、電位のところで利用する。