I 比誘電率１の媒質中に平面導体がある。この平面導体の表面よりＨ(m)の位置にＱ(C)の点電荷を持ってきた。以下の問いに答えよ。 ただし、平面導体の面積は、Ｈに対して充分に広いと見なせるとする。
① 導体表面に誘起される電荷を求めよ。（座標は適当に設定せよ。）
② 点電荷の受ける力を求めよ。
答
電気影像法での説明で述べたように、Ｑ(C)の点電荷の受ける力は、点電荷の位置に－Ｑ(C)の影像電荷が及ぼす電界で決る。
この電界の方向は、点電荷と影像電荷を結ぶ方向で、電荷の符号が互いに反対であるから、力は導体平面に近づく方向に働く。
距離が２Ｈ(m)であるから力Ｆ(N)は互いに遠ざかる方向を正に取ると、
Ｆ＝－Ｑ2／４πε0（２Ｈ）2＝－Ｑ2／１６πε0Ｈ2
点電荷Ｑに働く力は、大きさ Ｑ2／１６πε0Ｈ2(N) で、平面導体に近づく方向である。
③ 全体が比誘電率εrの媒質で満たされたとき、導体表面に誘起される電荷の分布と点電荷の受ける力はどの様に変化するか。
答
比誘電率εrの媒質で満たされたとき、電界はεrに反比例し、電束密度は変化しない。
点電荷の受ける力は、（電界に比例するので、）１／εrになる。よって、
Ｑ2／１６πε0εrＨ2(N) で、導体平面に近づく方向
導体平面に誘起される電荷は、 （導体平面表面での電束密度で与えられるので、）変化しない
II 面積Ｓ(ｍ2)の導体平板１，２が間隔ｄ(m)で並行にある。（Ｓ≫ｄ2） 以下に答えよ。
① 導体平板１，２にそれぞれσ1(C/m2)，σ2(C/m2)の電荷を与えた。導体平板１，２の中心を原点として導体平板１に垂直に向かう方向にｚ軸を選んで、任意の位置における電界の方向と大きさを求めよ。 ただし、σ1＞σ2≧０とする。
答
電界は、すべての電荷の作る電界を合成すればよいので、導体平板１、２で別々に考える。一枚の帯電した導体平板から作られる電界は、平板に垂直で、
平板の両側に等しく作られる。
ガウスの定理又は、電界の計算例を参考にすれば、電界は、帯電平板からの距離には関係なく大きさσ/2ε0で、平板から垂直に外に向かう方向となる。（σ＜０なら平板に向かう方向）
ここで、σは、帯電平板の面電荷密度である。
いま、帯電平板１はz軸上のd/2の位置に、帯電平板２はz軸上の-d/2の位置にあるので、それぞれの平板による電界を合成すれば、電界Ｅの方向をz軸の正の方向に選んで、
z＜-d/2 のとき －(σ1＋σ2）／２ε0
-d/2＜z＜d/2 のとき (－σ1＋σ2）／２ε0
d/2＜z のとき (σ1＋σ2）／２ε0
② ①において、導体平板１，２の電位差を求めよ。
答
導体平板２に対する導体平板の電位は、－∫Ｅdz（z;-d/2→d/2）＝(σ1－σ2）ｄ／２ε0 (V)
③ ①において、ｚ軸方向の電界をｚの関数としてグラフで表せ。
答
右に示す
④ 導体平板１，２をキャパシタと見なしたとき、静電容量を求めよ。
答
並行平板の静電容量であるから、面積 Ｓ(m2)、間隔ｄ(m)、誘電率ε0に対しては、
静電容量は、ε0Ｓ／ｄ(F)
III 真空中の点（１，１，０）(m)に１(C)の電荷、点（－１，－１，０）(m)に１(C)の電荷がある。以下の問いに答えよ。
① 原点における電界、電位、電束密度、単位体積当たりの静電エネルギーを求めよ。
答
点電荷による原点での電界Ｅ、電位φ、電束密度Ｄは、
（１，１，０）(m)の１(C)の電荷に対して、
電界＝（－１／４πε0２3/2，－１／４πε0２3/2，０）(V/m)
電位＝１／４πε0２1/2(V)
電束密度＝（－１／４π２3/2，－１／４π２3/2，０）(C/m2)
（－１，－１，０）(m)の１(C)の電荷に対して、
電界＝（１／４πε0２3/2，１／４πε0２3/2，０）(V/m)
電位＝１／４πε0２1/2(V)
電束密度＝（１／４π２3/2，１／４π２3/2，０）(C/m2)
両方の電界、電位、電束密度を合成して、
電界 ： ０(V/m)
電位 ： １／４πε0・２1/2(V)≒１.３×１０10(V)
電束密度 ： ０(C/m2)
静電エネルギー密度 ： Ｅ・Ｄ／２＝０(J/m3)
② 点（－１，１，０）(m)における電界、電位、電束密度を求めよ。
答
点電荷による（－１，１，０）での電界Ｅ、電位φ、電束密度Ｄは、
（１，１，０）(m)の１(C)の電荷に対して、
電界＝（－１／４πε0４，０，０）(V/m)
電位＝１／４πε0２(V)
電束密度＝（－１／４π４，０，０）(C/m2)
（－１，－１，０）(m)の１(C)の電荷に対して、
電界＝（０，１／４πε0４，０）(V/m)
電位＝１／４πε0２(V)
電束密度＝（０，１／４π４，０）(C/m2)
両方の電界、電位、電束密度を合成して、
電界 ： （－１／１６πε0，１／１６πε0，０）(V/m)＝（－９／４×１０9，９／４×１０9，０）(V/m)
電位 ： １／４πε0(V)≒９×１０9(V)
電束密度 ： （－１／１６π，１／１６π，０）(C/m2)
静電エネルギー密度 ： Ｅ・Ｄ／２＝１／５１２π2ε0(J/m3)
③ ①において全体を比誘電率 2 の媒質で満たした。原点における電界、電位、電束密度、単位体積当たりの静電エネルギーはどのように変化するか。
答
電界と電位が１／２になるので、
電界 ： ０(V/m)
電位 ： １／４πε0２・２1/2(V)≒６.５×１０9(V)
電束密度 ： ０(C/m2)
静電エネルギー密度 ： Ｅ・Ｄ／２＝０(J/m3)