このページは、 Thursday, 13-Oct-2005 09:13:52 JSTに更新されました。
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コンデンサ(静電容量)、condenser,capacitor(capacitance)


 面積Sの導体板が間隔dで平行に置かれている。それぞれの導体板に電荷Q、−Q(Q>0)をためたとき導体間の電位差Vを求める。 無限の広さの導体板の結果を参考にする。電界は、導体板の周辺部から離れた中程の導体板間で均一で、 大きさは面電荷密度をσとすればσ/ε0で与えられる。電界はQから−Qに向かう方向である。導体板の周辺部では、 電気力線が導体板間から外にはみ出る為に、均一な電界になってはいないが、周辺部に比べて中程の面積は圧倒的に大きいので面全体が均一な電界になっているとみなす。

さて、面電荷密度は、Q/Sで与えられるので、電界はQ/ε0Sとなる。両導体板間の電圧Vは、EdでQの側が高い。
よって、正電荷の方向に電圧の方向を選べば、

  V=Ed=Q/ε0S*d

  Q=ε0S/d*V

この式は、平行導体板(極板)に蓄積する電荷量と導体板間の電圧が比例することをあらわす。比例定数を'C'(Capacitance)で表し、静電容量と言う。よって、

  C=∂Q/∂V=ε0S/d

もし、極板間が、比誘電率εrの媒質で満たされていれば、極板間では電束が保存される。(もちろん真空中でも電束の保存は成立している。)

極板間の電束密度の大きさは、面電荷密度Q/Sに等しいので、電界Eは、Q/Sε0εrとなる。 よって極板間の電圧Vは、V=Ed=Q/Sε0εr*dで表される。

  C=∂Q/∂V=ε0εrS/d

(ここでは平行平板の例をあげたが)このように極板に電圧を印加すると極板には電荷が蓄積する。このような構造(素子)をキャパシタ(コンデンサ)という。


 右の図のように、厚さd、幅Wの比誘電率εrの誘電体シートの片側に非常に薄い導体膜を密着させたものを2枚重ねて半径Rのロール状に巻く。 この構造は、2枚の導体膜間に電圧を印加するとコンデンサとして働く。以下にこの構造の静電容量を求める。
さて、ロールを伸ばしたときの2枚重ねの誘電体シートの長さLは、ロール断面の面積と伸ばしたシートの横面の面積が等しいので、πR2=2dLで表される。 ロールの状態を考えると、2枚重ねの誘電体シートの上部と下部は同じ極板になっている。(現実のシートには、上部に電極はないがロール形状にすると 電極がついたかのようになるので、伸ばした誘電体シートの上部にも下部と同じ電極を想定する。)極板にためた電荷を中心の極板にQ,上下部の電極合わせて−Q(c)として、 誘電体内の電界を求める。
 誘電体内では、電界(電束密度も)は均一で、電極に垂直で中心電極から外に向かう方向にある。中心電極を含む上下面の面積Sの柱で、 電束密度Dにガウスの定理を適用する。

  2SD=σS (σは、面電荷密度 σ=Q/WL=2dQ/πR2W)

  D=σ/2=dQ/πR2

  E=D/ε0εr=dQ/πε0εr2

電極間の電圧Vは、

  V=Ed=d20εrπR2W*Q

よって静電容量 C は、

  C=∂Q/∂V=ε0εrπR2W/d2

 例えば、比誘電率εr=4、厚さd=50μm、半径R=1p、幅W=3pとすれば、C=0.133μFとなる。

 誘電体内には、電荷(電子、イオン、(帯電した)分子)が在り電荷は電界によって力を受ける。力が限界を越えると電荷は動き出し、誘電体膜は破壊される。 (絶縁破壊)電荷の受ける力は電界に比例し、絶縁破壊に至る電界は大きくて106V/pである。
  この誘電体膜に104V/pまでの電界を印加したとすると、最大印加電圧は、50Vとなる。 例えば、こうして0.133μF、50Vのコンデンサが実現できる。


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