空間における電荷分布と静電エネルギー

　空間に導体の塊１、２、３、・・・が分布しているとする。この時、導体１の電位がＶ₁であれば、 導体１に無限の遠方から電荷ΔＱを運んできて、導体１に加えれば導体１のエネルギーは、（ΔＱがもたらすエネルギーに相当する） Ｖ₁ΔＱだけ増加する。ゆえに、導体１のエネルギーの増分をΔＷ₁とすれば、
　　ΔＷ₁＝Ｖ₁ΔＱ
ところで、空間における静電容量で触れたように、ｉ番目の導体の電位Ｖ_iは、
　　Ｖ_i＝Σｐ_ijＱ_j（ｊ；１、２、３、・・・）
とかける。

いま、すべての導体は、電荷を持っていないとする。ここで、導体１にＱ₁（ｃ）の電荷を与えたときのエネルギーを考える。 導体１に電荷が与えられても、１を除く導体には電荷が無いので、エネルギーは導体１だけが獲得する。（もちろん電位はすべての導体が変化し得る。）
　　Ｗ＝Ｗ₁＝∫dＷ₁（ｑ₁；０〜Ｑ₁）＝∫Ｖ₁dｑ₁（ｑ₁；０〜Ｑ₁）
　　　　　＝∫ｐ₁₁ｑ₁dｑ₁（ｑ₁；０〜Ｑ₁）＝1/2*ｐ₁₁Ｑ₁²

これに、加えて導体２にＱ₂（ｃ）の電荷を与えたときのエネルギーを考える。 導体２に電荷が与えられても、２を除く導体では電荷量が変化しないので、２を除く導体のエネルギーは変化しない。（もちろん電位はすべての導体が変化し得る。）
すでにこの系は、導体１のエネルギーを得ているので、全エネルギーは、このエネルギーと導体２が獲得するエネルギーＷ₂の和になる。
　　Ｗ₂＝∫dＷ₂（ｑ₂；０〜Ｑ₂）＝∫Ｖ₂dｑ₂（ｑ₂；０〜Ｑ₂）
　　　　　＝∫（ｐ₂₁Ｑ₁＋ｐ₂₂ｑ₂）dｑ₂（ｑ₂；０〜Ｑ₂）
　　　　　＝∫ｐ₂₁Ｑ₁dｑ₂（ｑ₂；０〜Ｑ₂）＋∫ｐ₂₂ｑ₂）dｑ₂（ｑ₂；０〜Ｑ₂）
　　　　　＝ｐ₂₁Ｑ₁Ｑ₂＋1/2*ｐ₂₂Ｑ₂²
よって全エネルギーＷは、
　　Ｗ＝1/2*ｐ₁₁Ｑ₁²＋ｐ₂₁Ｑ₁Ｑ₂＋1/2*ｐ₂₂Ｑ₂²
で表される。

同様に、導体３、４、・・・にＱ₃、Ｑ₄、・・・なる電荷を順番に与えていけば、導体にＱ₁〜Ｑ_nなる電荷があるときの 全エネルギーＷは、

Ｗ＝1/2*ｐ₁₁Ｑ₁²＋1/2*ｐ₂₂Ｑ₂²＋・・・＋1/2*ｐ_nnＱ_n²
　　　＋ｐ₂₁Ｑ₁Ｑ₂
　　　＋ｐ₃₁Ｑ₁Ｑ₃＋ｐ₃₂Ｑ₂Ｑ₃
　　　＋ｐ₄₁Ｑ₁Ｑ₄＋ｐ₄₂Ｑ₂Ｑ₄＋ｐ₄₃Ｑ₃Ｑ₄
　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　・
　　　＋ｐ_n1Ｑ₁Ｑ_n＋ｐ_n2Ｑ₂Ｑ_n＋・・・＋ｐ_nn-1Ｑ_n-1Ｑ_n

自身に電荷を供給するとポテンシャルが比例して大きくなるので、次の微小電荷が得るエネルギーは、以前よりも大きくなる。電荷が多ければ、同じ電荷量に対して 獲得するエネルギーは大きくなってゆく（被積分関数は変数で、エネルギーは電荷に対して二乗で与えられる）が、他の導体によって作られるポテンシャルは、 電荷がどれだけ供給されようと変化しない。（被積分関数は定数で、エネルギーは電荷に対して一乗で与えれれる）

Ｗ＝1/2*ｐ_nnＱ_n²＋1/2*ｐ_n-1n-1Ｑ_n-1²＋・・・＋1/2*ｐ₁₁Ｑ₁²
　　　＋ｐ_n-1nＱ_nＱ_n-1
　　　＋ｐ_n-2nＱ_nＱ_n-2＋ｐ_n-2n-1Ｑ_n-1Ｑ_n-2
　　　＋ｐ_n-3nＱ_nＱ_n-3＋ｐ_n-3n-1Ｑ_n-1Ｑ_n-3＋ｐ_n-3n-2Ｑ_n-2Ｑ_n-3
　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　・

うえで求めたエネルギーと一致するはずであるから、Ｑ_iＱ_jの積に関する項（Ｑ_iＱ_jとＱ_jＱ_i）は 等しい。よって、その係数は等しい。ゆえに、
　　ｐ_ij＝ｐ_ji

電位係数ｐ_ijを要素とする行列は、対称行列であることが分かる。これは、前項で触れた。

前項で触れたように、Σｐ_ijＱ_j（ｊ；１〜ｎ）＝Ｖ_iであるから、　　

Ｗ＝1/2*Ｑ₁Ｖ₁＋1/2*Ｑ₂Ｖ₂＋・・・＝Σ1/2*Ｑ_iＶ_i（ｉ；１〜ｎ）

　電荷密度の分布をρ（ｒ）（Ｃ／ｍ³）、電位分布をφ（ｒ）（Ｖ）とすれば、点ｒにある体積ΔＶの微小領域の電荷量はρ（ｒ）ΔＶであるから微小領域のエネルギーは　1/2*ρφΔＶ　となる。全空間にわたって足し合わせ（積分す）れば、静電エネルギーＷは

　Ｗ＝1/2*∫ρφdＶ＝1/2*∫（divＤ）φdＶ　　（電束密度と電荷密度との関係より）
で与えられる。

　ここで、　div（Ｄφ）＝（divＤ）φ＋Ｄ・▽φ　なる関係を使うと
　両辺を体積積分して、
　∫div（Ｄφ）dＶ＝∫（divＤ）φdＶ＋∫（Ｄ・▽φ）dＶ
　移項して、　　　　　　
　∫（divＤ）φdＶ＝∫div（Ｄφ）dＶ−∫（Ｄ・▽φ）dＶ
　右辺第一項　∫div（Ｄφ）dＶ＝∫（φＤ）・dＳ　＝０ （閉曲面として、電荷が分布している領域より、充分大きな領域を与えるように選べば（閉曲面上での電位は、電荷から充分に遠く離れるので、距離に反比例して’０’に近づく。電束密度の大きさも充分に離れると距離の二乗に反比例して’０’に近づく。積分する面の大きさは、距離の二乗に比例して大きくなるので、積分値は閉曲面までの距離（もし球なら半径）に反比例して’０’に近づく。よって、右辺第一項は’０’である。
　右辺第二項は、電界と電位の関係Ｅ＝−dradφを使えば、　Ｄ・▽φ＝−Ｄ・Ｅ　であるので、
　右辺第二項　−∫（Ｄ・▽φ）dＶ＝∫（Ｄ・Ｅ）dＶ

　ゆえに、全エネルギー　Ｗ＝1/2*∫ρφdＶ＝1/2*∫（Ｄ・Ｅ）dＶ
　全静電エネルギーは、全電荷に対して、それぞれの電荷の静電ポテンシャルをかけて１／２倍して加えれば得られるが、 この値は、全空間に対して、それぞれの位置での電束密度と電界の内積を積分して１／２倍した値と等しいことが分かる。

　上の式は、空間のある点ｒにおける静電エネルギーの体積密度が1/2*Ｅ（ｒ）・Ｄ（ｒ）で与えられることを示す。 （この式を体積積分すれば、先の式になる。）

これでこの項目は終わり

EL新入生電気磁気学Iのページ

電気磁気学IA要点のコーナーへ戻る

電気磁気学IAへ戻る

電気磁気学I要点のコーナーへ