電荷が連続的に分布しているときの電界の表現

空間に（体積）密度ρ(ｒ)〔Ｃ／ｍ^３〕で分布する場合

空間を'点と見なせるほどに'微小な立体で（埋め尽すように）区切って、それぞれの微小な立体の中に含まれる電荷量をその場所の'点'電荷量とみなして、着目する点Ｒに及ぼす電界��Ｅ(Ｒ)を求め、すべての微小立体についてたせば、 着目する点Ｒでの電界Ｅ(Ｒ)が求まる。 微小な立体の体積を�凾u（ｒ）（例えば、ｘｙｚ座標であれば、それぞれの軸方向の微小量を考えてそれの作る直方体を考えるので�凾��凾刧凾�となる）とすれば、 点ｒにおける電荷ρ(ｒ)�凾u（ｒ）が点Ｒに及ぼす電界��Ｅ(Ｒ)は、

��Ｅ（Ｒ）＝	ρ(ｒ)�凾u		Ｒ-ｒ	・・・（１）
	４πε０｜Ｒ-ｒ｜２		｜Ｒ-ｒ｜

となる。この電界を電荷の分布する総ての空間について（�凾u（ｒ）に関して）たせば、Ｅ(Ｒ)が求まるので、

Ｅ（Ｒ）＝Σ��Ｅ（Ｒ）＝Σ	ρ（ｒ）�凾u		Ｒ-ｒ
	４πε０｜Ｒ-ｒ｜２		｜Ｒ-ｒ｜

＝∫	ρ（ｒ）d Ｖ		Ｒ-ｒ	・・・（２）
	４πε０｜Ｒ-ｒ｜２		｜Ｒ-ｒ｜

一般に、空間にどのように電荷が分布してもかまわない。但し、積分はｒに関して全空間にわたって行なう。（体積積分を行なう）
（積分する為に空間に対して容易に座標（変数）が設定できるのは、厚みのある平面（はんぺん）、球、円柱のような対称な電荷分布に対してである。）

面上に面密度σ(ｒ)〔Ｃ／ｍ^２〕で分布する場合

電荷の分布する面Ｓを微小な面で（埋め尽すように）区切れば、平面では厚さは無視できるほど薄いので、それぞれの区切られた微小な面は３次元の空間で点とみなすことができる。それぞれの微小な面の中に含まれる電荷量をその点の’点電荷量’として、着目する点Ｒでの電界 ��Ｅ(Ｒ)を求め、すべての区切った微小な面についてたせば着目する点Ｒでの電界Ｅ(Ｒ)が求まる。 区切った微小な面の面積を�凾rとすれば、（例えば、�凾rは、電荷の分布する面が平坦な平面であれば、平面上に設定したｘｙ軸に対して、それぞれの軸方向の微小長さによって作られる長方形の面積に相当するので、�凾��凾�となる）

点ｒ（もちろん電荷の分布する面Ｓ上にある）における電荷σ(ｒ)�凾rによる点Ｒにおける電界��Ｅ(Ｒ)は、

��Ｅ（Ｒ）＝	σ(ｒ)�凾r		Ｒ-ｒ	・・・（３）
	４πε０｜Ｒ-ｒ｜２		｜Ｒ-ｒ｜

となる。この電界を総ての�凾rなる大きさの'点電荷'について(ｒに関して)たせば、Ｅ(Ｒ)が求まる。

Ｅ（Ｒ）＝Σ��Ｅ（Ｒ）＝Σ	σ（ｒ）�凾r		Ｒ-ｒ
	４πε０｜Ｒ-ｒ｜２		｜Ｒ-ｒ｜

＝∫	σ（ｒ）d Ｓ		Ｒ-ｒ	・・・（４）
	４πε０｜Ｒ-ｒ｜２		｜Ｒ-ｒ｜

但し、積分はｒに関して面全体にわたって行なう。（面積分を行なう） 一般には、Ｓはどのような面でもかまわない。（球殻でも、円筒でも、もっと複雑な曲面でもよい）
（積分する為に面に対して容易に座標（変数）が設定できるのは、平面、球殻、円筒の電荷分布である。）

線上に線密度λ(ｒ)〔Ｃ／ｍ〕で分布する場合

電荷の分布する線Ｌをごく短い線で区切って、それぞれのごく短い線を点とみなし、それぞれのごく短い線の中に含まれる電荷量をその点電荷量として、着目する点Ｒでの電界��Ｅ（Ｒ）を求め、すべてのごく短い線についてたせば着目する点Ｒでの電界Ｅ（Ｒ）が求まる。
ごく短い線の長さを�凾k（例えば、線が直線であれば、直線方向にＺ軸を設定すれば、�凾kは�凾�となる）とすれば、

点ｒ（もちろん電荷の分布する直線Ｌ上にある）における電荷λ(ｒ)�凾kによる点Ｒにおける電界��Ｅ（Ｒ）は、

��Ｅ（Ｒ）＝	λ（ｒ）�凾k		Ｒ-ｒ	・・・（５）
	４πε０｜Ｒ-ｒ｜２		｜Ｒ-ｒ｜

となる。この電界をＬ上の総ての点について（ｒに関して）たせば、Ｅ(Ｒ)が求まるので、

Ｅ（Ｒ）＝Σ��Ｅ（Ｒ）＝Σ	λ（ｒ）�凾k		Ｒ-ｒ
	４πε０｜Ｒ-ｒ｜２		｜Ｒ-ｒ｜

＝∫	λ（ｒ）d Ｌ		Ｒ-ｒ	・・・（６）
	４πε０｜Ｒ-ｒ｜２		｜Ｒ-ｒ｜

但し、積分はｒに関して線全体にわたって行なう。

一般には、Ｌはどのような線でもかまわない。（直線でも、円環でも、複雑に曲がった線でも良い。）

（積分する為に線に対して容易に座標（変数）が設定できるのは、直線、円環の場合である。もし、電荷が直線状に分布すれば、直線の方向にZ軸をとって、λ(ｒ)=λ(z),　ｄｌ=ｄｚ， ｒ=（０，０，ｚ）とおくことができる。)

これでこの項目は終わり

EL新入生電気磁気学Iのページ

電気磁気学IA要点のコーナーへ戻る

電気磁気学IAへ戻る

電気磁気学I要点のコーナーへ