'00　11/08　レポート　略解（解説）

�T　点１（位置ベクトルＲ₁）にＱ₁〔Ｃ〕、 点２（位置ベクトルＲ₂）にＱ₂〔Ｃ〕、 点３（位置ベクトルＲ₃）にＱ₃〔Ｃ〕の点電荷がある。以下の問いに答えよ。

�@　点ｒ（＝（ｘ，ｙ，ｚ））の電界を表せ。
�A　Ｒ₁＝（４，０，０）〔ｍ〕、Ｒ₂＝（０，４，０）〔ｍ〕、 Ｒ₃＝（４，４，０）〔ｍ〕、Ｑ₁＝Ｑ₂＝−Ｑ₃＝１×１０^-8〔Ｃ〕とする。
　次の各点における電界を求めよ。（単位は〔ｍ〕） （０，０，０）、（±１，０，０）、（０，±１，０）、（±２，０，０）、（０，±２，０）、 （±１，±１，０）、（±２，±２，０）、（±３，０，０）、（０，±３，０）、（±３，±３，０）、 （±２，±１，０）、（±１，±２，０）
�B　�Aで得た電界を図示せよ。
�C　�Aで電気力線を描け。

解答例
�@　点電荷１〜３の作る電界を足せばよい。
　　Ｅ＝Ｑ_１（ｒ−Ｒ_１）／４πε₀｜ｒ−Ｒ_１｜^３ ＋Ｑ_２（ｒ−Ｒ_２）／４πε₀｜ｒ−Ｒ_２｜^３ ＋Ｑ_３（ｒ−Ｒ_３）／４πε₀｜ｒ−Ｒ_３｜^３ 〔Ｎ／Ｃ〕
�A　�@を参考にする。１／４πε₀＝９×１０^９〔Ｆ／ｍ〕であることを考慮して、
Ｅ ＝Ｑ_１（ｘ−４，ｙ，ｚ）／４πε₀（（ｘ−４）^２＋ｙ^２＋ｚ^２）^３／２ ＋Ｑ_２（ｘ，ｙ−４，ｚ）／４πε₀（ｘ^２＋（ｙ−４）^２＋ｚ^２）^３／２ ＋Ｑ_３（ｘ−４，ｙ−４，ｚ）／４πε₀（（ｘ−４）^２＋（ｙ−４）^２＋ｚ^２）^３／２
　　＝９０（ｘ−４，ｙ，ｚ）／（（ｘ−４）^２＋ｙ^２＋ｚ^２）^３／２ ＋９０（ｘ，ｙ−４，ｚ）／（ｘ^２＋（ｙ−４）^２＋ｚ^２）^３／２ −９０（ｘ−４，ｙ−４，ｚ）／（（ｘ−４）^２＋（ｙ−４）^２＋ｚ^２）^３／２ 〔Ｎ／Ｃ〕
　与えられた点に対する電界は成分で次の表のようになる。（ただし、電界の単位は〔Ｎ／Ｃ〕で、ｚ軸成分はすべての点で’０’であるから表では省略した。値を求める手続きは上の式に座標を代入するだけの単純な繰り返し計算であるので、表計算ソフトなどを利用すると簡単に値は求まる。）

点（ｘ，ｙ，ｚ）	ｘ成分	ｙ成分	：	点（ｘ，ｙ，ｚ）	ｘ成分	ｙ成分
（１，０，０）	−６．６	−２．３	：	（−１，０，０）	−３．２	−３．８
（０，１，０）	−２．３	−６．６	：	（０，−１，０）	−３．８	−３．２
（１，１，０）	−２．２	−２．２	：	（１，−１，０）	−６．５	−４．０
（−１，１，０）	−４．０	−６．５	：	（−１，−１，０）	−２．８	−２．８
（２，０，０）	−１８．５	０	：	（−２，０，０）	−３．１	−３．１
（０，２，０）	０	−１８．５	：	（０，−２，０）	−３．１	−３．１
（２，２，０）	８．０	８．０	：	（２，−２，０）	−６．５	−８．０
（−２，２，０）	−８．０	−６．５	：	（−２，−２，０）	−２．０	−２．０
（３，０，０）	−８６．６	２．３	：	（−３，０，０）	−２．８	−２．２
（０，３，０）	２．３	−８６．６	：	（０，−３，０）	−２．２	−２．８
（３，３，０）	３７．５	３７．５	：	（３，−３，０）	−２．０	−８．２
（−３，３，０）	−８．２	−２．０	：	（−３，−３，０）	−１．４	−１．４
（２，１，０）	−８．５	８．０	：	（２，−１，０）	−１３．８	−８．０
（−２，１，０）	−４．６	−４．５	：	（−２，−１，０）	−２．４	−２．３
（１，２，０）	８．０	−８．５	：	（１，−２，０）	−４．５	−４．６
（−１，２，０）	−８．０	−１３．８	：	（−１，−２，０）	−２．３	−２．４
（０，０，０）	−３．６	−３．６

�B 上の表の電界を右図（赤色）に示す。

�C　電気力線も右図（黒色）に示す。電界が接線になるようになめらかに線を引く。ただし、方向は正電荷では出て、負電荷では入っていく方向。

�U　半径ａ〔ｍ〕の球状に均一に密度ρ〔Ｃ／ｍ³〕で電荷が分布している。以下の問いに答えよ。

�@　任意の点において、電界はどちらを向いているか。
�A　座標を適当に設定して、任意の点における電界を求めよ。
�B　�Aで求めた電界に対して、ガウスの定理の微分形が成り立つことを確認せよ。

解答例
�@　要点を参考にする。電界は電界を知りたい点と、球の中心を結ぶ方向にある。
�A　要点を参考にする。（−ガウスの定理を使うなら−−電荷分布を積分するなら−）
　電荷の分布する球の中心を原点とし、電界を知りたい点の座標を（ｘ，ｙ，ｚ）とする。球の中心との距離は、（ｘ^２＋ｙ^２＋ｚ^２）^１／２で与えられる。方向は、（ｘ，ｙ，ｚ）であるから、

　Ｅ＝ρ／３ε₀（ｘ，ｙ，ｚ）〔Ｎ／Ｃ〕　；　（（ｘ^２＋ｙ^２＋ｚ^２）^１／２＜ａ　点は球内）
　Ｅ＝ρａ^３／３ε₀（ｘ^２＋ｙ^２＋ｚ^２）^３／２（ｘ，ｙ，ｚ）〔Ｎ／Ｃ〕　；　（（ｘ^２＋ｙ^２＋ｚ^２）^１／２＞ａ　点は球外）

�B　ガウスの定理の微分演算の式を参考にして、
　球内：
　　∇・Ｅ＝∂Ｅ_ｘ／∂ｘ＋∂Ｅ_ｙ／∂ｙ＋∂Ｅ_ｚ／∂ｚ＝ρ／３ε₀＋ρ／３ε₀＋ρ／３ε₀＝ρ／ε₀
　　球内の電荷密度はρであるから∇・Ｅ＝ρ／ε₀が成立している。
　球外：
　　∇・Ｅ＝ρａ^３／３ε₀（ｘ^２＋ｙ^２＋ｚ^２）^３／２×３ −ρａ^３（ｘ^２＋ｙ^２＋ｚ^２）／３ε₀（ｘ^２＋ｙ^２＋ｚ^２）^５／２＝０
　　球外の電荷密度は０であるから∇・Ｅ＝０／ε₀が成立している。（ρ＝０）

�V　厚さｔ〔ｍ〕の無限に広い板１，２が空隙ｄ〔ｍ〕で平行にある。 ただし、板１には均一に密度ρ₁〔Ｃ／ｍ^３〕の電荷が、 板２には均一に面密度ρ₂〔Ｃ／ｍ^３〕の電荷がある。 また、板２から板１に向かって垂直にｚ軸を設定し、ｚ軸の原点は板２の中心にあるとする。ほかに必要な座標および座標軸は適当に設定して、以下の問いに答えよ。

�@　板１に分布する電荷による任意の点における電界の大きさと方向を求めよ。
�A　板２に分布する電荷による任意の点における電界を求めよ。
�B　板１，板２の両方に分布する電荷による任意の点における電界を求めよ。
�C　�Bにおいて、ガウスの法則の微分形が成り立つことを確認せよ。
�D　�Bにおいて、ｔ＝１〔ｍｍ〕、ｄ＝１〔ｍｍ〕、ρ₁＝ρ₂＝１×１０^-8〔Ｃ／ｍ^３〕のとき、 ｚ座標の関数として電界のｚ軸成分をグラフ化せよ。電気力線も描け。
�E　�Bにおいて、ｔ＝１〔ｍｍ〕、ｄ＝１〔ｍｍ〕、ρ₁＝−ρ₂＝１×１０^-8〔Ｃ／ｍ^３〕のとき、 ｚ座標の関数として電界のｚ軸成分をグラフ化せよ。電気力線も描け。

解答例
�@　平板に均一に分布する電荷による電界は要点で扱った。電界は板に垂直で板からの距離の関数になる。 電界の、ｘ、ｙ成分は’０’であるから、Ｅ_ｚ成分だけ考えればよい。板１の厚さの中心より上方にｚ_１の場所に板１の電荷が作る電界Ｅ_ｚ１は、
　　Ｅ_ｚ１＝ρ_１ｚ_１／ε₀　〔Ｎ／Ｃ〕　　（ｚ_１＜ｔ／２）
　　　　　　ρ_１ｔ／２ε₀*ｚ_１／｜ｚ_１｜　〔Ｎ／Ｃ〕　　（｜ｚ_１｜＞ｔ／２）

�A　同様に、板２の厚さの中心より上方にｚ_２の場所に板２の電荷が作る電界Ｅ_ｚ２は、
　　Ｅ_ｚ２＝ρ_２ｚ_２／ε₀　〔Ｎ／Ｃ〕　　（ｚ_２＜ｔ／２）
　　　　　　ρ_２ｔ／２ε₀*ｚ_２／｜ｚ_２｜　〔Ｎ／Ｃ〕　　（｜ｚ_２｜＞ｔ／２）

　板が一枚の時の電界（青色）と電気力線（橙色）を示す

ρ＞０	ρ＜０

�B　電界はすべての電荷による電界を加えれば得られることから、板１，２それぞれの電荷による電界を求めて合成すればよい。 電界Ｅ_ｚは、二つに分けた電荷分布それぞれによる電界Ｅ_ｚ１、Ｅ_ｚ２を合成すればよいので、 ｚ_１、ｚ_２をｚに置き換えて、
　　Ｅ_ｚ＝Ｅ_ｚ１＋Ｅ_ｚ２
　　　　＝ρ_１ｔ／２ε₀＋ρ_２ｔ／２ε₀　〔Ｎ／Ｃ〕　　（ｚ＞３ｔ／２＋ｄ）
　　　　　ρ_１（ｚ−ｄ−ｔ）／ε₀＋ρ_２ｔ／２ε₀　〔Ｎ／Ｃ〕　　（３ｔ／２＋ｄ＞ｚ＞ｔ／２＋ｄ）
　　　　　−ρ_１ｔ／２ε₀＋ρ_２ｔ／２ε₀　〔Ｎ／Ｃ〕　　（ｔ／２＋ｄ＞ｚ＞ｔ／２）
　　　　　ρ_２ｚ／ε₀−ρ_１ｔ／２ε₀　〔Ｎ／Ｃ〕　　（ｔ／２＞ｚ＞−ｔ／２）
　　　　　−ρ_１ｔ／２ε₀−ρ_２ｔ／２ε₀　〔Ｎ／Ｃ〕　　（−ｔ／２＞ｚ）

�C　�Bで、領域、ｚ＞３ｔ／２＋ｄ、ｔ／２＋ｄ＞ｚ＞ｔ／２、−ｔ／２＞ｚでは、
電界が一定なので、∇・Ｅは（微分すれば）、’０’になる。またこの領域は、電荷密度が’０’である。よって、∇・Ｅ＝ρ／ε₀が成立している。（ρ＝０）
　領域、３ｔ／２＋ｄ＞ｚ＞ｔ／２＋ｄでは、
　　　Ｅ_ｚ＝ρ_１（ｚ−ｄ−ｔ）／ε₀＋ρ_２ｔ／２ε₀であるから、ｚで微分して、
∇・Ｅ＝∂／∂ｚ（ρ_１（ｚ−ｄ−ｔ）／ε₀＋ρ_２ｔ／２ε₀）＝ρ_１／ε₀
　領域、ｔ／２＞ｚ＞−ｔ／２では、
　　　Ｅ_ｚ＝ρ_２ｚ／ε₀−ρ_１ｔ／２ε₀であるから、ｚで微分して、
∇・Ｅ＝∂／∂ｚ（ρ_２ｚ／ε₀−ρ_１ｔ／２ε₀）＝ρ_２／ε₀
右辺は、電荷密度をε₀で割った量になっていることが分かる。

�D，�E　電界（青色）と電気力線（橙色）を示す

ρ1＝ρ2＝１×１０-8〔Ｃ／ｍ３〕	ρ1＝−ρ2＝１×１０-8〔Ｃ／ｍ３〕

これでこの項目は終わり

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