'99　11/25 レポートの略解（解説）

�T　点１（位置ベクトルＲ₁）にＱ₁（Ｃ）、点２（位置ベクトルＲ₂）にＱ₂（Ｃ）、 点３（位置ベクトルＲ₃）にＱ₃（Ｃ）の点電荷がある。以下の問いに答えよ。

�@　点１の電荷の静電ポテンシャルエネルギーを求めよ。
�A　点ｒ(位置ベクトルｒ）における電位を求めよ。
�B　点Ｒ(位置ベクトルＲ）における電界を求めよ。
�C　Ｒ₁＝（１，０，０）（ｍ）、Ｒ₂＝（０，１，０）（ｍ）、Ｒ₃＝（０，０，１）（ｍ）、Ｑ₁＝Ｑ₂＝Ｑ₃＝１×１０^-8（Ｃ）のとき、点２の電荷の静電ポテンシャルエネルギーを求めよ。
�D　Ｒ₁＝（１，０，０）（ｍ）、Ｒ₂＝（０，１，０）（ｍ）、Ｒ₃＝（０，０，１）（ｍ）、Ｑ₁＝Ｑ₂＝−Ｑ₃＝１×１０^-8（Ｃ）のとき、点２の電荷の静電ポテンシャルエネルギーを求めよ。
�E　�C，�Dにおいて、点（０，０，０）（ｍ）、点（１，１，１）（ｍ）、点（１，１，０）（ｍ）のそれぞれの点における電位と電界を求めよ。

解答例

�@　点１の電位に電荷をかければ得られる。点１の電位は、点２と点３のそれぞれの電荷により与えられる電位を足せばよい。

　φ＝Ｑ₂/４πε₀｜Ｒ₁−Ｒ₂｜＋ Ｑ₃/４πε₀｜Ｒ₁−Ｒ₃｜ [V]

　ゆえに、静電ポテンシャルエネルギーＷは、
　Ｗ＝Ｑ₁φ＝Ｑ₁/４πε₀（Ｑ₂/｜Ｒ₁−Ｒ₂｜＋ Ｑ₃/｜Ｒ₁−Ｒ₃｜） [J]

�A　Ｑ₁〜Ｑ₃のそれぞれの点電荷により与えられる電位を足せばよいので、

　φ（ｒ）＝Ｑ₁/４πε₀｜ｒ−Ｒ₁｜＋ Ｑ₂/４πε₀｜ｒ−Ｒ₂｜＋Ｑ₃/４πε₀｜ｒ−Ｒ₃｜ [V]

�B　前回（'99/10/21）と同様に、点電荷の作る電界を足せば得られる。

　Ｅ＝Ｑ₁/（４πε₀｜Ｒ−Ｒ₁｜²）・ （Ｒ−Ｒ₁）／｜Ｒ−Ｒ₁｜＋ Ｑ₂/（４πε₀｜Ｒ−Ｒ₂｜²）・ （Ｒ−Ｒ₂）／｜Ｒ−Ｒ₂｜＋ Ｑ₃/（４πε₀｜Ｒ−Ｒ₃｜²）・ （Ｒ−Ｒ₃）／｜Ｒ−Ｒ₃｜ [N/C]([V/m])

�B　別解
電界と電位との関係、Ｅ＝−gradφ（＝−∇φ） により、電界を求める。 一般に、∇（１／｜ｒ−Ｒ_i｜）＝−（ｒ−Ｒ_i）／｜ｒ−Ｒ_i｜³ が成り立つことを利用して、

Ｅ（ｒ）＝−∇φ＝−∇（Ｑ₁/４πε₀｜ｒ−Ｒ₁｜＋ Ｑ₂/４πε₀｜ｒ−Ｒ₂｜＋Ｑ₃/４πε₀｜ｒ−Ｒ₃｜）
　　＝Ｑ₁/４πε₀・（−∇（１／｜ｒ−Ｒ₁｜）＋ Ｑ₂/４πε₀・（−∇（１／｜ｒ−Ｒ₂｜）＋Ｑ₃/４πε₀・（−∇（１／｜ｒ−Ｒ₃｜）
　　＝Ｑ₁/４πε₀・（ｒ−Ｒ₁）／｜ｒ−Ｒ₁｜³＋ Ｑ₂/４πε₀・（ｒ−Ｒ₂）／｜ｒ−Ｒ₂｜³＋ Ｑ₃/４πε₀・（ｒ−Ｒ₃）／｜ｒ−Ｒ₃｜³ [N/C]([V/m])

ｒ＝Ｒであるから、
　Ｅ（Ｒ）＝Ｑ₁/４πε₀・（Ｒ−Ｒ₁）／｜Ｒ−Ｒ₁｜³＋ Ｑ₂/４πε₀・（Ｒ−Ｒ₂）／｜Ｒ−Ｒ₂｜³＋ Ｑ₃/４πε₀・（Ｒ−Ｒ₃）／｜Ｒ−Ｒ₃｜³ [N/C]([V/m])

�C　�@の表現を参考にして表現すれば、点２の電荷の静電ポテンシャルエネルギーＷは、
　Ｗ＝Ｑ₂/４πε₀・（Ｑ₁/｜Ｒ₂−Ｒ₁｜＋ Ｑ₃/｜Ｒ₂−Ｒ₃｜）
であるから、数値を代入すれば、
Ｒ₂−Ｒ₁＝（−１，１，０）
Ｒ₂−Ｒ₃＝（０，１，−１）
　この表現と　Ｑ₁＝Ｑ₂＝Ｑ₃＝１×１０^-8（Ｃ）　を考慮して、数値に直せば、 １/４πε₀＝９×１０⁹として、

　Ｗ＝９×１０^-7／２^1/2＋９×１０^-7／２^1/2
　　＝９・２^1/2×１０^-7　[J]
で与えられる。

�D　�Cと同様にして行う。
�@の表現を参考にして表現すれば、点２の電荷の静電ポテンシャルエネルギーＷは、
　Ｗ＝Ｑ₂/４πε₀・（Ｑ₁/｜Ｒ₂−Ｒ₁｜＋ Ｑ₃/｜Ｒ₂−Ｒ₃｜）
であるから、数値を代入すれば、
Ｒ₂−Ｒ₁＝（−１，１，０）
Ｒ₂−Ｒ₃＝（０，１，−１）
　この表現と　Ｑ₁＝Ｑ₂＝−Ｑ₃＝１×１０^-8（Ｃ）　を考慮して、数値に直せば、 １/４πε₀＝９×１０⁹として、

　Ｗ＝９×１０^-7／２^1/2−９×１０^-7／２^1/2＝０　[J]

で与えられる。

�E　電位は�Aを、電界は�Bを参考にする。

−−−�Cの条件に対して
電界及び電位を知りたい座標を（ｘ，ｙ，ｚ）と表せば、（１／４πε₀＝９×１０⁹として、）

１の電荷による電位φ₁及び、電界Ｅ₁は、
　φ₁＝９×１０⁹×１×１０^-8／（（ｘ−１）²＋ｙ²＋ｚ²）^1/2 　　　　＝９０／（（ｘ−１）²＋ｙ²＋ｚ²）^1/2 [V]
　Ｅ₁＝９×１０⁹×１×１０^-8／（（ｘ−１）²＋ｙ²＋ｚ²）^3/2 ・（ｘ−１，ｙ，ｚ）
　　＝９０／（（ｘ−１）²＋ｙ²＋ｚ²）^3/2・（ｘ−１，ｙ，ｚ） [v/m]

同様に、２の電荷による電位φ₂及び、電界Ｅ₂は、
　φ₂＝９×１０⁹×１×１０^-8／（ｘ²＋（ｙ−１）²＋ｚ²）^1/2 　　　　＝９０／（ｘ²＋（ｙ−１）²＋ｚ²）^1/2 [V]
　Ｅ₂＝９×１０⁹×１×１０^-8／（ｘ²＋（ｙ−１）²＋ｚ²）^3/2 ・（ｘ，ｙ−１，ｚ）
　　＝９０／（ｘ²＋（ｙ−１）²＋ｚ²）^3/2・（ｘ，ｙ−１，ｚ） [v/m]

同様に、３の電荷による電位φ₃及び、電界Ｅ₃は、
　φ₃＝９×１０⁹×１×１０^-8／（ｘ²＋ｙ²＋（ｚ−１）²）^1/2 　　　　＝９０／（ｘ²＋ｙ²＋（ｚ−１）²）^1/2 [V]
　Ｅ₃＝９×１０⁹×１×１０^-8／（ｘ²＋ｙ²＋（ｚ−１）²）^3/2 ・（ｘ，ｙ，ｚ−１）
　　＝９０／（ｘ²＋ｙ²＋（ｚ−１）²）^3/2・（ｘ，ｙ，ｚ−１） [v/m]

　それぞれに、座標を代入して加えればよい。
（０，０，０）では、
　　φ＝２７０[V]
　　Ｅ＝９０（−１，−１，−１）＝（−９０，−９０，−９０）＝９０・３^1/2（−３^-1/2，−３^-1/2，−３^-1/2）[V/m]
（１，１，１）では、
　　φ＝２７０・２^-1/2[V]
　　Ｅ＝９０・２^-3/2（２，２，２）＝（９０・２^-1/2，９０・２^-1/2，９０・２^-1/2） ＝９０・（３／２）^1/2（３^-1/2，３^-1/2，３^-1/2）[V/m]
（１，１，０）では、
　　φ＝１８０＋３０・３^1/2[V]
　　Ｅ＝（９０＋９０／３^3/2，９０＋９０／３^3/2，−９０／３^3/2） ＝（９０＋１０・３^1/2，９０＋１０・３^1/2，−１０・３^1/2）[V/m]

−−−�Dの条件に対して
電界及び電位を知りたい座標を（ｘ，ｙ，ｚ）と表せば、（１／４πε₀＝９×１０⁹として、）

１の電荷による電位φ₁及び、電界Ｅ₁は、
　φ₁＝９×１０⁹×１×１０^-8／（（ｘ−１）²＋ｙ²＋ｚ²）^1/2 　　　　＝９０／（（ｘ−１）²＋ｙ²＋ｚ²）^1/2 [V]
　Ｅ₁＝９×１０⁹×１×１０^-8／（（ｘ−１）²＋ｙ²＋ｚ²）^3/2 ・（ｘ−１，ｙ，ｚ）
　　＝９０／（（ｘ−１）²＋ｙ²＋ｚ²）^3/2・（ｘ−１，ｙ，ｚ） [v/m]

同様に、２の電荷による電位φ₂及び、電界Ｅ₂は、
　φ₂＝９×１０⁹×１×１０^-8／（ｘ²＋（ｙ−１）²＋ｚ²）^1/2 　　　　＝９０／（ｘ²＋（ｙ−１）²＋ｚ²）^1/2 [V]
　Ｅ₂＝９×１０⁹×１×１０^-8／（ｘ²＋（ｙ−１）²＋ｚ²）^3/2 ・（ｘ，ｙ−１，ｚ）
　　＝９０／（ｘ²＋（ｙ−１）²＋ｚ²）^3/2・（ｘ，ｙ−１，ｚ） [v/m]

同様に、３の電荷による電位φ₃及び、電界Ｅ₃は、
　φ₃＝−９×１０⁹×１×１０^-8／（ｘ²＋ｙ²＋（ｚ−１）²）^1/2 　　　　＝−９０／（ｘ²＋ｙ²＋（ｚ−１）²）^1/2 [V]
　Ｅ₃＝−９×１０⁹×１×１０^-8／（ｘ²＋ｙ²＋（ｚ−１）²）^3/2 ・（ｘ，ｙ，ｚ−１）
　　＝９０／（ｘ²＋ｙ²＋（ｚ−１）²）^3/2・（−ｘ，−ｙ，−ｚ＋１） [v/m]

　それぞれに、座標を代入して加えればよい。
（０，０，０）では、
　　φ＝９０[V]
　　Ｅ＝９０（−１，−１，１）＝（−９０，−９０，９０）＝９０・３^1/2（−３^-1/2，−３^-1/2，３^-1/2）[V/m]
（１，１，１）では、
　　φ＝９０・２^-1/2＝４５・２^1/2[V]
　　Ｅ＝９０・２^-3/2（０，０，２）＝（０，０，９０・２^-1/2） ＝４５・２^1/2（０，０，１）[V/m]
（１，１，０）では、
　　φ＝１８０−３０・３^1/2[V]
　　Ｅ＝（９０−９０／３^3/2，９０−９０／３^3/2，９０／３^3/2） ＝（９０−１０・３^1/2，９０−１０・３^1/2，１０・３^1/2）[V/m]

�U　半径ａ（ｍ）の無限に長い直線円柱状に均一に密度ρ（Ｃ／ｍ³）で電荷が分布している。以下の問いに答えよ。

�@　任意の点において、電界はどちらを向いているか。
�A　座標を適当に設定して、任意の点における電界を求めよ。
�B　座標を適当に設定して、任意の点における電位を求めよ。円柱の中心を電位の基準とせよ。

解答例

�@　電界を知りたい点をｒとし、点ｒより、円柱の中心軸に下ろした垂線の足をＯとする。 Ｏを通り、円柱の中心軸に垂直な面Ｇで、円柱を二つに分ける。
　点電荷と見なせるほど微小な領域に円柱を分けて、その内の一つの微小領域ｐが点ｒに及ぼす電界を考える。 領域ｐの面Ｇに対する対称な領域ｐ’にも同量の電荷が存在し、その電荷が点ｒに及ぼす電界は、ｐの作る電界と大きさが等しく面Ｇに対して対称である。 よって、この二つの電界を合成すると面Ｇに垂直な成分はうち消して、面Ｇ内の成分だけになる。円柱上の全電荷に対して、このような電荷の組が与えられるので、 電界は、面Ｇ内の成分のみで与えられる。
　つぎに、円柱の中心軸と点ｒを含む面Ｈを考え、円柱に分布する電荷を面Ｈで二つの領域に分ける。 点電荷と見なせるほど微小な領域に円柱を分けて、その内の一つの微小領域ｐが点ｒに及ぼす電界を考える。 領域ｐの面Ｈに対する対称な領域ｐ"にも同量の電荷が存在し、その電荷が点ｒに及ぼす電界は、ｐの作る電界と大きさが等しく面Ｈに対して対称である。 よって、この二つの電界を合成すると面Ｈに垂直な成分はうち消して、面Ｈ内の成分だけになる。円柱上の全電荷に対して、このような電荷の組が与えられるので、 電界は、面Ｈ内の成分のみで与えられる。
ゆえに、点ｒにおいて、面Ｇと面Ｈに含まれる方向（円柱の中心軸に対して、垂直な方向）に電界は向く。

�A　円柱の中心軸から電界を知りたい点までの距離をｒとする。 半径ｒ、高さＬの円柱状の閉曲面を考えて、ガウスの定理を適用する。

閉曲面上での電界をＥとすれば、

ガウスの定理の左辺＝∫Ｅ・dＳ(S:円柱側面+円柱上面＋円柱下面)=∫Ｅ・dＳ(S:円柱側面)+∫Ｅ・dＳ(S:円柱上面+円柱下面)

∫Ｅ・dＳ(S:円柱側面)=Ｅ∫dＳ(S:円柱側面)(ＥとdＳは同じ方向で、Ｅは面上で同じ値)=Ｅ2πｒＬ（側面上の電界をＥとおいた。）

∫Ｅ・dＳ(S:円柱上面+円柱下面)=0(面上でＥとdＳは垂直なので内積は0)

ガウスの定理の左辺＝Ｅ2πｒＬ

ガウスの定理の右辺＝∫ρｄＶ/ε₀
　　＝ρ/ε₀・πｒ²Ｌ（　ｒ＜ａ）、ρ/ε₀・πａ²Ｌ　（ａ＜ｒ）

　Ｅ＝ρｒ/２ε₀ [V/m] 　（ｒ＜ａ）
　Ｅ＝ρａ²/２ε₀ｒ [V/m]　（ａ＜ｒ）

�B　電位を知りたい点と円柱との中心軸との距離をＲとする。電位を知りたい点とこの点から円柱の中心軸に下ろした点を結ぶ線上で、電界を積分する。 電界の方向と積分の方向は並行であるから、電位φは、

　φ＝∫−Ｅ・ｄｒ（ｒ；０〜Ｒ）＝∫−Ｅｄｒ（ｒ；０〜Ｒ）

　φ＝∫−（ρｒ/２ε₀）ｄｒ（ｒ；０〜Ｒ）　（Ｒ＜ａ）＝−ρＲ²/４ε₀ [V] 　（Ｒ＜ａ）
　φ＝∫−（ρｒ/２ε₀）ｄｒ（ｒ；０〜ａ）−∫ρａ²/２ε₀ｒ・ｄｒ（ｒ；ａ〜Ｒ）（　ａ＜Ｒ）
　　＝−ρａ²/４ε₀− ρａ²/２ε₀ｌｏｇ（Ｒ／ａ）　（ａ＜Ｒ）

　右は、ρ＞０の時の、電界（円柱の中心軸から外に向かって正）と電位を表す。

�V　厚さの無視できる無限に広い板１，２が間隔ｄ（ｍ）で平行にある。ただし、板１には均一に面密度σ₁（Ｃ／ｍ²）の電荷が、 板２には均一に面密度σ₂（Ｃ／ｍ²）の電荷がある。また、板２から板１に向かって垂直にｚ軸を設定し、ｚ軸の原点は板２にあるとする。ほかに必要な座標および座標軸は適当に設定して、以下の問いに答えよ。

�@　板１に分布する電荷による任意の点における電界の大きさと方向を求めよ。
�A　板２に分布する電荷による任意の点における電界を求めよ。
�B　板１，板２の両方に分布する電荷による任意の点における電界を求めよ。
�C　板２の電位を基準として、任意の点における電位を求めよ。
�D　�B，�Cにおいて、ｄ＝１(mm)、σ₁＝σ₂＝１×１０^-8（Ｃ／ｍ²）のとき、ｚ座標の関数として電界のｚ軸成分と電位をグラフ化せよ。
�E　�B，�Cにおいて、ｄ＝１(mm)、σ₁＝−σ₂＝１×１０^-8（Ｃ／ｍ²）のとき、ｚ座標の関数として電界のｚ軸成分と電位をグラフ化せよ。

解答例

�@，�A，�B　'99 10/21 提出期限のレポート�Vを参考にする。　

�C 電界はｚ軸成分しかないので、�Bと同様にして得られる（下に表される）電界Ｅ（Ｚ）をｚについて積分すれば電位が得られる。

　Ｅ（Ｚ）＝σ₁／２ε₀・（Ｚ−ｄ）／|Ｚ−ｄ|＋σ₂／２ε₀・Ｚ／|Ｚ|　[N/C]([V/m])
　場合分けして表せば、
　Ｅ₁（Ｚ）＝（σ₁＋σ₂）／２ε₀　（Ｚ＞ｄ）
　Ｅ₂（Ｚ）＝（−σ₁＋σ₂）／２ε₀　（ｄ＞Ｚ＞０）
　Ｅ₃（Ｚ）＝−（σ₁＋σ₂）／２ε₀　（０＞Ｚ）

電位を知りたい点をｚ＝Ｈとすれば、電位φ（Ｈ）は、
　φ（Ｈ）＝∫−Ｅ（ｚ）ｄｚ（ｚ；０〜Ｈ）＝∫−Ｅ₃（ｚ）ｄｚ（ｚ；０〜Ｈ）　（Ｈ＜０）
　　　＝∫−Ｅ₂（ｚ）ｄｚ（ｚ；０〜Ｈ）　（０＜Ｈ＜ｄ）
　　　＝∫−Ｅ₁（ｚ）ｄｚ（ｚ；ｄ〜Ｈ）＋φ（ｄ）　（ｄ＜Ｈ）

　Ｈ＜０　のとき
　φ＝∫−Ｅ₃（ｚ）ｄｚ（ｚ；０〜Ｈ）＝（σ₁＋σ₂）Ｈ／２ε₀　[V]

　０＜Ｈ＜ｄ　のとき
　φ＝∫−Ｅ₂（ｚ）ｄｚ（ｚ；０〜Ｈ）（０＜Ｈ＜ｄ）＝（σ₁−σ₂）Ｈ／２ε₀　[V]
　φ（ｄ）＝（σ₁−σ₂）ｄ／２ε₀　[V]

　ｄ＜Ｈ　のとき
　φ＝∫−Ｅ₁（ｚ）ｄｚ（ｚ；ｄ〜Ｈ）＋φ（ｄ）＝−（σ₁＋σ₂）（Ｈ−ｄ）／２ε₀＋（σ₁−σ₂）ｄ／２ε₀　[V]
　　＝−（σ₁＋σ₂）Ｈ／２ε₀＋σ₁ｄ／ε₀　[V]

�D　�Cに与えられた電界と電位に値を代入する。

　ｚ＜０　のとき
　Ｅ（ｚ）＝−（σ₁＋σ₂）／２ε₀　[N/C]（[V/m]）
　φ（ｚ）＝（σ₁＋σ₂）ｚ／２ε₀　[V]

　０＜ｚ＜ｄ　のとき
　Ｅ（ｚ）＝（−σ₁＋σ₂）／２ε₀　[N/C]（[V/m]）
　φ（ｚ）＝（σ₁−σ₂）ｚ／２ε₀　[V]

　ｄ＜ｚ　のとき
　Ｅ（ｚ）＝（σ₁＋σ₂）／２ε₀　[N/C]（[V/m]）
　φ（ｚ）＝−（σ₁＋σ₂）ｚ／２ε₀＋σ₁ｄ／ε₀　[V]

であるから、位置をｚ(m)とすれば、１／ε₀＝１／８．８５４×１０^-12＝１．１３×１０¹¹であることを考慮して、

　ｚ＜０　のとき
　Ｅ（ｚ）＝−１．１３　[N/C]（[V/m]）
　φ（ｚ）＝１．１３ｚ[V]

　０＜ｚ＜ｄ　のとき
　Ｅ（ｚ）＝０　[N/C]（[V/m]）
　φ（ｚ）＝０　[V]

　ｄ＜ｚ　のとき
　Ｅ（ｚ）＝１．１３　[N/C]（[V/m]）
　φ（ｚ）＝−１．１３（ｚ−０．００１）　[V]

�E　�Cに与えられた電界と電位に値を代入する。

　ｚ＜０　のとき
　Ｅ（ｚ）＝−（σ₁＋σ₂）／２ε₀　[N/C]（[V/m]）
　φ（ｚ）＝（σ₁＋σ₂）ｚ／２ε₀　[V]

　０＜ｚ＜ｄ　のとき
　Ｅ（ｚ）＝（−σ₁＋σ₂）／２ε₀　[N/C]（[V/m]）
　φ（ｚ）＝（σ₁−σ₂）ｚ／２ε₀　[V]

　ｄ＜ｚ　のとき
　Ｅ（ｚ）＝（σ₁＋σ₂）／２ε₀　[N/C]（[V/m]）
　φ（ｚ）＝−（σ₁＋σ₂）ｚ／２ε₀＋σ₁ｄ／ε₀　[V]

であるから、位置をｚ(m)とすれば、１／ε₀＝１／８．８５４×１０^-12＝１．１３×１０¹¹であることを考慮して、

　ｚ＜０　のとき
　Ｅ（ｚ）０　[N/C]（[V/m]）
　φ（ｚ）＝０　[V]

　０＜ｚ＜ｄ　のとき
　Ｅ（ｚ）＝−１．１３　[N/C]（[V/m]）
　φ（ｚ）＝１．１３ｚ　[V]

　ｄ＜ｚ　のとき
　Ｅ（ｚ）＝０　[N/C]（[V/m]）
　φ（ｚ）＝１．１３×１０^-3　[V]　＝１．１３　[mV]

�W　半径ａ（ｍ）の球状に均一に密度ρ（Ｃ／ｍ³）で電荷が分布している。以下の問いに答えよ。

�@　任意の点において、電界はどちらを向いているか。
�A　座標を適当に設定して、任意の点における電界を求めよ。
�B　座標を適当に設定して、任意の点における電位を求めよ。

解答例

�@　電界を知りたい点をＲとし、点Ｒと球の中心Ｏを結ぶ線ＯＲを含む平面Ｇを考える。 （無数の（方向の）平面が考えられるがそのうちの一つを選ぶ）
　点電荷と見なせるほど微小な領域に球を分けて、その内の一つの微小領域ｐが点Ｒに及ぼす電界を考える。 領域ｐの面Ｇに対する対称な領域ｐ’にも同量の電荷が存在し、その電荷が点Ｒに及ぼす電界は、ｐの作る電界と大きさが等しく面Ｇに対して対称である。 よって、この二つの電界を合成すると面Ｇに垂直な成分はうち消して、面Ｇ内の成分だけになる。球内の全電荷に対して、このような電荷の組が与えられるので、 電界は、面Ｇ内の成分のみで与えられる。つぎに、線ＯＲを含むＧとは異なる平面Ｇ'を考える。先ほどと同様にして電界の方向を考えると、電界は面Ｇ'内の成分のみになることが分かる。
ゆえに、点Ｒにおいて、面Ｇと面Ｇ'に含まれる方向（球の中心とＲを結ぶ方向）に電界は向く。

�A　電界を知りたい点ｒの球の中心Ｏからの距離をｒ[m]とする。 電界は、球の中心とｒを結ぶ方向にあるので、Ｏを中心とする球面を考えると電界は、球面と垂直になる。（球面の法線と（反）並行） そこで、中心をＯとする半径ｒの球の閉曲面で、ガウスの定理を利用すると、電気磁気学I 要点のコーナーと同様に求められる。あるいは、電荷分布を体積積分（電気磁気学I 要点のコーナー）して求める。

ｒ＜ａのとき、　　　　Ｅ=ρｒ/3ε₀　　　　　　　　　　　　　　[N/C] ( [V/m] )　（中心から外に向かう方向）

ａ＜ｒのとき、　　　　Ｅ=ρａ³/3ε₀ｒ²　[N/C] ( [V/m] )　（中心から外に向かう方向）

�B　電位を知りたい点Ｒの球の中心Ｏからの距離をＲ[m]とする。 電位φは、電界を積分すれば得られるので、電位の基準を無限遠にとって、

　φ（Ｒ）＝∫−Ｅｄｒ（ｒ；∞〜Ｒ）

ａ＜Ｒのとき
　　φ（Ｒ）＝∫−Ｅｄｒ（ｒ；∞〜Ｒ）＝∫−ρａ³/3ε₀ｒ²ｄｒ（ｒ；∞〜Ｒ）
　　　　　　＝ρａ³/3ε₀Ｒ　[V]

ｒ＜ａのとき
　　φ（Ｒ）＝∫−Ｅｄｒ（ｒ；ａ〜Ｒ）＝∫−ρｒ/3ε₀ｄｒ（ｒ；ａ〜Ｒ）
　　　　　　＝−ρＲ²/6ε₀＋ρａ²/6ε₀＋ρａ³/3ε₀ａ　[V]
　　　　　　＝−ρＲ²/6ε₀＋ρａ²/2ε₀　[V]

球内の全電荷量Ｑ（Ｃ）（＝４πａ³ρ／３）でかきなおすと

ａ＜Ｒのとき
　　φ（Ｒ）＝ρａ³/3ε₀Ｒ　[V]
　　　　　　＝Ｑ／４πε₀Ｒ　[V]　（点電荷の場合と同一の表現になる）

ｒ＜ａのとき
　　φ（Ｒ）＝−ρＲ²/6ε₀＋ρａ²/6ε₀＋ρａ³/3ε₀ａ　[V]
　　　　　　＝（ａ²−Ｒ²）Ｑ／８πε₀ａ³＋Ｑ／４πε₀ａ　[V]

電界と電位は、右のように与えられる。（ρ＜０とおいた。）

これでこの項目は終わり

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